Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, lấy điểm C nằm trên nửa đường tròn. Gọi K là trung điểm của BC.Qua B dựng tiếp tuyến với (O) cắt OK tại D a)CM BO vuông góc BC b)Chứng minh DC là tiếp tuyến của (O) c kẻ CH vuông góc AB tại H .Gọi I là trung điểm CH.Tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm O cắt BI tại E .Chứng minh ba điểm E, C ,D thẳng hàng

Giải thích các bước giải:

a.Vì $BD$ là tiếp tuyến của $(O)\to BO\perp BD$

b.Ta có: $K$ là trung điểm $BC$

$\to OK\perp BC\to OK$ là trung trực $BC$

$\to B, C$ đối xứng qua $OK$

Mà $D\in OK$

$\to \widehat{OCD}=\widehat{OBD}=90^o$

$\to OC\perp CD$

$\to CD$ là tiếp tuyến của $(O)$

c.Gọi $AE\cap BC=F$

Ta có: $AE$ là tiếp tuyến của $(O)\to AE\perp AB$

$\to AE//CH(\perp AB)$

$\to \dfrac{IH}{AE}=\dfrac{BI}{BE}=\dfrac{CI}{EF}$

Vì $I$ là trung điểm $HC\to IC=IH$

$\to EA=EF$

$\to E$ là trung điểm $AF$

Mà $AB$ là đường kính của $(O)\to \widehat{ACB}=90^o\to AC\perp BC\to AC\perp CF$

$\to \Delta ACF$ vuông tại $C, E$ là trung điểm $AF$

$\to EC=EA=EF=\dfrac12AF$

$\to \Delta ECA$ cân tại $E$

$\to\widehat{ECA}= \widehat{CAE}=\widehat{CBA}$ do $AF$ là tiếp tuyến của $(O)$

Mà $\widehat{DCB}=\widehat{CAB}$ vì $DC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \widehat{ECD}=\widehat{ECA}+\widehat{ACB}+\widehat{DCB}=\widehat{CBA}+\widehat{ACB}+\widehat{CAB}=180^o$

$\to E, C, D$ thẳng hàng