Tìm GTNN hoặc GTLN của câu sau

A=$x^{2}$+$y^{2}$+$y$-4$x$+7

2.Chứng minh biểu thức luôn dương 

1.A=$x^{2}$+$x$+1>0∀$x$

2.B=4$x$-4$x^{2}$-3<.0∀$x$

Cảm ơn nhìu

`1)`

`A=x^2+y^2+y-4x+7`

`A=x^2-4x+4+y^2+y+1/4+11/14`

`A=(x-2)^2+(y+1/2)^2+11/4`

`NX:`

`(x-2)^2>=0 ∀x`

`(y+1/2)^2>=0 ∀y`

`=> (x-2)^2+(y+1/2)^2>=0 ∀x,y`

`=> (x-2)^2+(y+1/2)^2+11/4>=11/4 ∀x,y`

`=> A>=11/4 ∀x,y`

Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases} x-2=0\\y+\dfrac{1}{2}=0\\ \end{cases}$ `<=>` $\begin{cases} x=2\\y=-\dfrac{1}{2}\\ \end{cases}$

`2)`

`1,`

`A=x^2+x+1`

`A=x^2+x+1/4+3/4`

`A=(x+1/2)^2+3/4`

Vì `(x+1/2)^2>=0 ∀x` nên `(x+1/2)^2+3/4>=3/4>0 ∀x`

Vậy `A>0 ∀x`

`2,`

`B=4x-4x^2-3`

`-B=4x^2-4x+3`

`-B=4x^2-4x+1+2`

`-B=(2x-1)^2+2`

`B=-(2x-1)^2-2`

Vì `-(2x-1)^2<=0 ∀x` nên `-(2x-1)^2-2<=-2<0 ∀x`

Vậy `B<0 ∀x`

`#TD`

Để giải các bài toán liên quan đến tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) và chứng minh một biểu thức luôn dương hoặc luôn âm, ta sẽ lần lượt xem xét từng trường hợp.

### Bài toán 1: Tìm GTNN của biểu thức A
\[ A = x^2 + y^2 + y - 4x + 7 \]

Để tìm GTNN của biểu thức này, ta có thể biến đổi và hoàn thiện bình phương như sau:

\[ A = x^2 - 4x + y^2 + y + 7 \]

Hoàn thiện bình phương cho \(x\):

\[ x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 \]

Hoàn thiện bình phương cho \(y\):

\[ y^2 + y = \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} \]

Do đó, ta có:

\[ A = (x - 2)^2 - 4 + \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + 7 \]
\[ A = (x - 2)^2 + \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{4}{4} + 7 \]
\[ A = (x - 2)^2 + \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 + 7 - 4 \]
\[ A = (x - 2)^2 + \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{24}{4} - 1 \]
\[ A = (x - 2)^2 + \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 + 6.75 \]

Từ đây, ta thấy rằng \( (x - 2)^2 \geq 0 \) và \( \left(y + \frac{1}{2}\right)^2 \geq 0 \), do đó GTNN của \( A \) là 6.75.

### Bài toán 2: Chứng minh biểu thức luôn dương

#### Biểu thức 1:
\[ A = x^2 + x + 1 > 0 \quad \forall x \]

Ta xét định thức của phương trình bậc hai:

\[ f(x) = x^2 + x + 1 \]

Xét định thức của phương trình:

\[ \Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 \]

Vì \(\Delta < 0\), phương trình \(x^2 + x + 1 = 0\) không có nghiệm thực, do đó \(A\) luôn dương với mọi \(x\).

#### Biểu thức 2:
\[ B = 4x - 4x^2 - 3 < 0 \quad \forall x \]

Ta sắp xếp lại biểu thức:

\[ B = -4x^2 + 4x - 3 \]

Xét định thức của phương trình:

\[ \Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot (-4) \cdot (-3) = 16 - 48 = -32 \]

Vì \(\Delta < 0\), phương trình \(-4x^2 + 4x - 3 = 0\) không có nghiệm thực, do đó \(B\) luôn âm với mọi \(x\).

### Kết luận:
- GTNN của biểu thức \( A = x^2 + y^2 + y - 4x + 7 \) là 6.75.
- Biểu thức \( A = x^2 + x + 1 \) luôn dương với mọi \( x \).
- Biểu thức \( B = 4x - 4x^2 - 3 \) luôn âm với mọi \( x \).