Cho đường thẳng (b) có phương trình: (m - 2).x + (2m + 3).y - m - 5 = 0.
1. Xác định điểm cố định mà (b) luôn đi qua với mọi m

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Gọi $(x_0; y_0)$ là điểm cố định $(b)$ luôn đi qua

$\Leftrightarrow (m - 2)x_0 + (2m + 3)y_0 - m - 5 = 0$

$\Leftrightarrow mx_0 - 2x_0 + 2my_0 + 3y_0 - m - 5 = 0$

$\Leftrightarrow m(x_0 + 2y_0 - 1) - 2x_0 + 3y_0 - 5 = 0$

Ta có: $Điểm (x_0; y_0)$ là điểm cố định $(b)$ luôn đi qua

$\Leftrightarrow \begin {cases} x_0 + 2y_0 - 1 = 0 \\ -2x_0 + 3y_0 - 5 = 0 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} x_0 + 2y_0 = 1 \\ -2x_0 + 3y_0 = 5 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} 2x_0 + 4y_0 = 2 \\ -2x_0 + 3y_0 = 5 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} 7y_0 = 7  \\ -2x_0 + 3y_0 = 5 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} y_0 = 1 \\ -2x_0 + 3 = 5 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} y_0 = 1 \\ -2x_0 = 2 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} y_0 = 1 \\ x_0 = -1 \end {cases}$

Vậy $(b)$ luôn đi qua điểm cố định $(-1; 1)$ với mọi $m$

`1)`

Gọi điểm cố định mà đường thẳng `(b)` luôn đi qua là `I(x_o ; y_o)`

Ta có:

`(m - 2).x_o + (2m + 3).y_o - m - 5 = 0 ∀ m`

`⇒ m.x_o - 2.x_o + 2m.y_o + 3.y_o - m - 5 = 0 ∀ m`

`⇒ m.x_o - m + 2m.y_o - 2.x_o + 3.y_o - 5 = 0 ∀ m`

`⇒ m(x_o - 1 + 2 y_o ) - 2.x_o + 3.y_o - 5 = 0 ∀ m`

`⇒ x_o - 1 + 2 y_o =0` và ` - 2.x_o + 3.y_o - 5 =0 `

$⇒ x_o +  2y_o = 1 (*)$  và  ` - 2.x_o + 3.y_o = 5 `

`⇒ 2x_o +  4y_o = 2 (1)`  và  ` - 2.x_o + 3.y_o = 5 (2)`

Cộng từng vế của `(1)` và `(2)`, ta được:

`2x_o +  4y_o - 2.x_o + 3.y_o = 2+5`

`⇒ 7 y_o = 7`

`⇒ y_o =1`

Thay `y_o = 1` vào $(*)$, ta được:

`x_o + 2.1 = 1`

`⇒ x_o + 2 = 1`

`⇒ x_o = -1`

Suy ra: `I(-1;1)`

Vậy điểm cố định mà đường thẳng `(b)` luôn đi qua là `I(-1;1)`