Tìm số nguyên n để n^2-3/n^2-1 là số nguyên và tìm GTLN, GTNN của nó

Đặt `A = (n^2 - 3)/(n^2 - 1)  (n ne +- 1)`

`= (n^2 - 1 - 2)/(n^2 - 1)`

`= (n^2 - 1)/(n^2 - 1) - 2/(n^2 - 1)`

`= 1 - 2/(n^2 - 1)`

`@ A` nguyên khi `2/(n^2 -1)` nguyên

`=> 2 vdots n^2 - 1`

`=> n^2 - 1 in Ư(2) = {-2;-1;1;2}`

`=> n^2 in {-1;0;2;3}`

mà `n^2 >= 0` nên `n^2 in {0;2;3}`

`=> n in {0;+- sqrt2; +- sqrt3}`

mà `n` nguyên nên `n = 0`

Vậy `n = 0` thì `A` nguyên

`@ A` đạt GTLN khi `2/(n^2 -1)` đạt GTNN

Xét tử `2 > 0` nên `2/(n^2 - 1)` đạt GTNN khi `n^2 - 1 < 0` và đạt GTLN

mà `n` nguyên nên `n^2 - 1 = 1 <=> n^2 - 1 = -1 <=> n^2 = 0 <=> n = 0`

Thay `n = 0` vào `A`, ta được:

`A = 1 - 2/(0^2 - 1) = 1 - 2/(-1) = 1 - (-2) = 3`

Vậy `A_(max) = 3 <=> n = 0`

`@ A` đạt GTNN khi `2/(n^2 - 1)` đạt GTLN

Xét tử `2 > 0` nên `2/(n^2 -1)` đạt GTLN khi `n^2 - 1 > 0` và đạt GTNN

mà `n` nguyên nên `n^2 - 1 = 3 <=> n^2 = 4 <=> n = +- 2`

Từ đó ta có:

`A_(min) = 1 - 2/3 = 3/3 - 2/3 = 1/3`

Vậy `A_(min) = 1/3 <=> n = +- 2`

`\ttcolor{cyan}{#PUyen}`