Cho x,y,z>0 thoả mãn điều kiện `1/(xy)+1/(yz)+1/(zx)=2019`

CM: 

`(x^2+1+\sqrt[2019x^2+1])/x+(y^2+1+\sqrt[2019y^2+1])/y+(z^2+1+\sqrt[2019z^2+1])/z<=2019.2020xyz`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

gt `<=> 2019xyz = x+y+z`

BĐT: `<=>` `\sum_{cyc} (x^2+1+\sqrt{2019x^2+1})/x le 2020(x+y+z)`

`<=> \sum_{cyc} (x + 1/x + \sqrt{2019x^2 + 1}/x) le 2020(x+y+z)`

`<=>  \sum_{cyc} (1/x + \sqrt{2019 + 1/x^2}) le 2019(x+y+z)` `(1)`

$\bullet$ Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

`VT(1) =  \sum_{cyc} (1/x + \sqrt{2019 + 1/x^2}) = \sum_{cyc} (1/x + \sqrt{1/(xy) + 1/(yz) + 1/(zx) + 1/x^2}) = \sum_{cyc} [1/x + \sqrt{(1/x + 1/y)(1/x + 1/z)}] le 3(1/x+1/y+1/z)`

$\bullet$ Ta cần chứng minh BĐT sau: `3(1/x+1/y+1/z) le 2019xyz`  `(2)`

Thật vậy `(2) <=> 3(xy+yz+zx) le (2019xyz)^2`

`<=> 3(xy+yz+zx) le (x+y+z)^2` 

`<=> (x-y)^2 + (y-z)^2 + (z-x)^2 ge 0` (luôn đúng)

Vậy `\sum_{cyc} (x^2+1+\sqrt{2019x^2+1})/x le 2019.2020xyz` hay đpcm

Dấu $"="$ xảy ra `<=> x=y=z = \sqrt{3/2019}`

CHÚC BẠN HỌC TỐT