`10` . `(` Ghi lại đề cho rõ `)` .

`->` Cho $\triangle$ `ABC` cân tại `A` . Gọi `I` và `J` lần lượt là trung điểm `AB` và `AC` .

Đáp án:
a) Có tam giác ABC là tam giác cân tại A (g/t)
            =>AB=AC (t/c)
             =>B=C (t/c)
    Có I là trung điểm AB (g/t)
        => IA=IB=AB/2
    Có J là trung điểm AC (g/t)
        => JA=JC=AC/2
      Mà AB=AC (cmt)
        => AI=BI=AJ=CJ
Xét tam giác ABJ và tam giác ACI có:
        AJ=AI (cmt)
       góc A chung
        AB=AC (cmt)
  => tam giác ABJ= tam giác ACI (c.g.c)
b) Theo câu a, ta có: tam giác ABJ đồng dạng với tam giác ACI
        => AB//AC, AJ//AI, BJ//CI
        Mà I và j là tđiểm AB và AC
     => Góc o là giao của bj và CI
     => OI=OJ VÀ OB=OC
c) Có tam giác ABJ= tam giác ACI => góc ABJ = góc ACI (g/tu)
    Có ABJ+JBC = Góc B
         ACI+ICB  = Góc C
     mà ABJ =ACI (cmt)
           B=C (cmt)
   =>Góc JBC = góc ICB
   Vậy tam giác OBC có 2 góc bằng nhau.
     Có AI=AJ (cmt)
        => tam giác AIJ cân tại A
        => Góc AIJ= góc AJI = (180-A);2
     mà Góc ABC = Góc ACB= (180-A):2
        => AIJ= ABC
    Mà 2 góc này đồng vị
        => IJ//BC
d) Xét tam giác EAI và tam giác CBI có:
          EI=CI ( do I là trung điểm EC)
          Góc EIA=CIB (đối đỉnh)
          AI=BI (cmt)
      => tam giác EAI= CBI (c.g.c)
      => EA=BC (c/tu)
      => góc E = ICB(G/TU)
      Mà 2 góc này SLT
      => EA//BC
   Xét tam giác AJF và tam giác CJB có:
         AJ=CJ (cmt)
         Góc AJF= CJB (ĐỐI ĐỈNH)
         BJ=FJ (do j là tđiểm BF)
       => TAM GIÁC AJF = CJB (c.g.c)
       => AF=BC (C/TU)
       => GÓC F=JBC (G/TU)
     Mà 2 góc này SLT
        => AF//BC
    Có EA//BC (cmt) 
          AF//BC (cmt)
       => E, A, F thẳng hàng
       => a thuộc EF
    Có : EA=BC
           AF=BC
       => EA=AF
        Mà a thuộc EF (cmt)
       => A là tđiểm EF
       => ĐPCM.
    

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a)  Xét tam giác ABJ và tam giác ACI , có :

góc A chung 

có góc I và J là trung điểm của AB và AC 

mà tam giác ABC cân tại A 

suy ra tam giác ABJ đồng dạng tam giác ACI (g.g)

b) Theo câu a , ta có : tam giác ABJ đồng dạng tam giác ACI 

suy ra AB/AC , AJ/AI , BJ/CI

mà có góc I và J là trung điểm của AB và AC 

suy ra góc O là giao điểm của BJ và CI

suy ra OI=OJ , OB=OC

c) Xét tam giác OBC có 

OB=OC

suy ra tam giác OBC cân tại O

suy ra có góc oBc = góc oCb

có góc I VÀ F là trung điểm của AB VÀ AC

mà tam giác ABC cân tại A 

suy ra IF// BC

d) Xét tam giác AEF có

BJ=CI

mà có I và J là trung điểm của EC VÀ FB

suy ra IE = JF

suy ra EF//IF  (1)

mà có IF//BC   (2)

từ (1) và (2) , ta có : BC//EF

mà tam giác ABC cân tại A 

nên tam giác AEF cũng cân tại A