​Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB=4cm. Trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy M,N sao cho AM=CN. Xác định vị trí của M, N sao cho tứ giác BCNM có diện tích nhỏ nhất. Tính diện tích nhỏ nhất đó.

Đáp án.

Hình vẽ.

Giải thích các bước giải.

`triangle ABC` vuông cân tại `A` `-> AB=AC=4cm`

Ta có:

`S_(BCNM)=S_(ABC)-S_(AMN)`

`-> S_(BCNM)=1/2 . 4 . 4 - 1/2 . AM .AN=8- 1/2 .AM .AN`

Để `S_(BCNM)` nhỏ nhất thì `AM.AN` lớn nhất.

Lại có `AN=AC-CN=AC-AM=4-AM`

`-> AM.AN=AM.(4-AM)`

`=-AM^2+4.AM`

`=-AM^2+4.AM-4+4`

`=-(AM-2)^2+4 <=4`

`-> AM.AN` đạt giá trị lớn nhất bằng `4` khi `{(AM-2=0),(AN=4-AM):}<=>{(AM=2cm),(AN=2cm):}` `->` Khi đó `M,N` là trung điểm `AB,AC`.

`-> S_(BCNM) >= 8- 1/2 . 2.2=6  (cm^2)`

Vậy tứ giác `BCNM` có diện tích nhỏ nhất là `6  cm^2` khi `M,  N` là trung điểm `AB,  AC`.