Tam giác ABC vuông tại A,góc C bằng 30 độ, BC=20cm.

a)Tính AB,AC

b)Từ A kẻ AM,AN vuông góc với phân giác trong và ngoài của góc C. Chứng minh MN//BC và MN=AC

c)C/m:A,M,C,N cùng cách đều 1 điểm

d)Tính diện tích tam giác MAB

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\sin C=\dfrac{AB}{BC}$

$\to AB=BC\sin C=10$

$\to AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=10\sqrt3$

b.Gọi $AM, AN$ cắt $BC$ tại $D, E$

Ta có: $\Delta ACD$ có đường phân giác $CM, CM\perp AD$

$\to \Delta ACD$ cân tại $C, CM\perp AD$

$\to M$ là trung điểm $AD$

Tương tự $\Delta ACE$ cân tại $C, CN\perp AE$

$\to N$ là trung điểm $AE$

$\to MN$ là đường trung bình $\Delta ADE$

$\to MN//DE$

$\to MN//BC$

Mà $CM, CN$ là phân giác trong, ngoài của $\Delta ABC\to CM\perp NC$

Do $CM\perp AD, CN\perp AE$

$\to AMCN$ là hình chữ nhật

$\to AC=MN$

c.Gọi $AC\cap MN=O$

Vì $AMCN$ là hình chữ nhật

$\to AO=OC=OM=ON$

$\to A, M, C, N$ cùng cách đều điểm $O$ là trung điểm $AC$

d.Ta có: $CM$ là phân giác $\widehat{ACB}$

$\to \widehat{MCA}=\widehat{MCD}=\dfrac12\hat C=15^o$

Ta có:

$\sin\widehat{ACM}=\dfrac{AM}{AC}$

$\to \sin15^o=\dfrac{AM}{10\sqrt3}$

$\to AM=10\sqrt3\sin15^o\approx 4.48(cm)$

$\to CM=\sqrt{AC^2-AM^2}=16.73, AD=2AM=8.96$

$\to S_{ACD}=\dfrac12MC\cdot AD=\dfrac12\cdot 16.73\cdot 8.96=74.9504$

Ta có: $S_{ABC}=\dfrac12AB\cdot AC=\dfrac12\cdot 10\cdot 10\sqrt3=50\sqrt{3}$

$\to S_{ABD}=S_{ABC}-S_{ADC}=50\sqrt{3}-74.9504$

$\to S_{MAB}=\dfrac12S_{ABD}\approx 5.83$