Cho `0<=a,b,c<=4;a+b+c=6.` Tìm GTLN của `P=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca.`

Đáp án:

`P_{max} = 28 <=> (a,b,c) = (0,2,4)` và các hoán vị

Giải thích các bước giải:

Do `a,b,c in [0;4] => {((4-a)(4-b)(4-c) ge 0 (1)),(abc ge 0):}`

`(1) <=> 4(ab+bc+ca) - 16(a+b+c) + 64 - abc ge 0`

`<=> 4(ab+bc+ca) - 16.6+64 ge abc`

`<=> 4(ab+bc+ca) - 32 ge 0`

`<=> -(ab+bc+ca) le 8`

Có: `P = (a+b+c)^2 - (ab+bc+ca) le 6^2 - 8 = 28`

Dấu $"="$ xảy ra `<=> (a,b,c) = (0,2,4)` và các hoán vị 

Do `a+b+c=6` và `a,b,c>=0` nên tồn tại `1` trong `3` số `a,b,c` không lớn hơn `2`.Không giảm tổng quát,giả sử `c>=2`.Khi đó `a+b<=4`.Để ý do `c<=4` nên `a+b>=2`

`=>(a+b-2)(a+b-4)<=0<=>(a+b)^2<=6(a+b)-8`

Ta có:`P=a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca`

`P=1/2(a^2+b^2+c^2)+1/2(a+b+c)^2`

`P=1/2[a^2+b^2+(6-a-b)^2]+18`

`P=a^2+b^2+ab-6(a+b)+36`

`P=(a+b)^2-ab-6(a+b)+36<=(a+b)^2-6(a+b)+8+28<=28`

Đẳng thức xảy ra khi \(\left[ \begin{array}{l}a+b=2\\a+b=4\end{array} \right.\)`;ab=0` và các hoán vị;hay`(a,b,c)=(0,2,4)` và các hoán vị

Vậy GTLN của P là `28`