cuu

cho `a,b,c` nguyên:`a/b+b/c+c/a=3` CM: `abc` là lập phương của `1` số nguyên

Từ gt `<=> ab^2+bc^2+ca^2-3abc=0`

`<=> {(a(b-c)^2+c(a-c)(a-b) =0),(c(a-b)^2+b(c-b)(c-a) = 0):}`

`<=> {(a(b-c)^2 = c(c-a)(a-b)),(c(a-b)^2 = b(b-c)(c-a)):}`

Nếu 3 số `a,b,c` có 2 số bằng nhau thì đpcm

Xét `a,b,c` đôi một khác nhau

Từ hệ trên ta có: `ab(b-c)^3(c-a) = c^2(a-b)^3(c-a)`

`<=> abc = ((c(a-b))/(b-c))^3`

Do `abc in ZZ`

`=> ((c(a-b))/(b-c))^3 in ZZ`

`=> (c(a-b))/(b-c) in ZZ` (đpcm)

Đáp án`+`Giải thích các bước giải:

Đặt `x^3=a/b,y^3=b/c,z^3=c/a` ta có: `x^2+y^2+z^2-3xyz=0`

`<=>(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)=0`

$\bullet$ Nếu `x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0`

`<=>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx=0`

`<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0<=>x=y=z<=>a=b=c`

Do đó: `a.b.c=a.a.a=a^3` là lập phương của một số nguyên

$\bullet$ Nếu `x+y+z=0` thì `\root{3}{a/b}+\root{3}{b/c}+\root{3}{c/a}=0`

Nhân `a root{3}{b^2c}` và `b root{3}{a^2c}` được:

`a root{3}{abc}+ab+\root{3}{a^2b^2c^2}=0` và `b root{3}{abc}+bc+\root{3}{a^2b^2c^2}=0`

Trừ vế với vế được: `(a-b) \root{3}{abc}=b(c-a)`

Nếu `a=b` thì `a=b=c<=>x=y=z=1` không thỏa mãn `x+y+z=0`

Nếu `a \ne b<=>abc=(b(c-a)^3)/(a-b)` là lập phương số hữu tỉ nhưng `a,b,c` là số nguyên

Vậy `a,b,c` nguyên và `a/b+b/c+c/a=3` thì `abc` là lập phương của một số nguyên