Cho hình chóp `S.ABCD` có đáy `ABCD` là hình vuông cạnh `3a`, tam giác `SAB` vuông tại `S` và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.

1. Chứng minh rằng: `SA \bot (SBC)`

2. Biết góc giữa `SD` và mặt phẳng `(SAB)` bằng `60^{0}`. Tính khoảng cách từ điểm `C` đến `(SBD)`

`\circ` KHÔNG CẦN TRẢ LỜI

Đáp án:

`a)`

`@` Ta có:

`{:((SAB)bot(ABCD)),((SAB)nn(ABCD)=AB),( "Kẻ "SH bot AB ):}}`

`=>SH bot (ABCD) sup BC`

`{:(=>BC bot SH),("Mà "BC bot AB):}}`

`=>BC bot (SAB) sup SA`

`{:(=>SA bot BC),("Mà "SA bot SB" (đề)"):}}`

`=>SA bot (SBC)`

`b)`

`@`Ta có:

`{:(BC bot (SAB)),(BC////AD):}}`

`=>AD bot (SAB)`

`=>SA` là hình chiếu của `SD` trên `(SAB)`

`=>(SD,(SAB))=(SD,SA)=hat(DSA)=60^o`

`@Delta SAD` vuông tại `A:`

`tan hat(DSA)=tan 60^o=(AD)/(SA)=(3a)/(SA)`

`=>SA=a sqrt3`

`@Delta SAB` vuông tại `S` có `SH` là đường cao:

`=>{(SB=a sqrt6\ \(Pytago)),(SH=(SA.SB)/sqrt(SA^2+SB^2)=(a sqrt3.a sqrt6)/sqrt(3a^2+6a^2)=asqrt2),(AH=(SA^2)/(AB)=(3a^2)/(3a)=a=>BH=2a):}`

Gọi `E=CH nn BD,I=CH nn AD`

`@Delta HBC `$\backsim$ `DeltaHAI` (g.g)

`=>(HB)/(HA)=(BC)/(AI)` hay `2=(BC)/(AI)`

`=>(DI)/(IA)=3`

`@`Xét `Delta ABD` có `E,H,I` thẳng hàng và thuộc 3 cạnh, theo đl Menelaus:

`(AH)/(HB).(BE)/(ED).(DI)/(IA)=1`

`=>1/2 .(BE)/(ED).3=1`

`=>(BE)/(ED)=2/3`

`{:(=>3BE-2ED=0),("Mà "BE+ED=BD=3asqrt2):}}`

`=>{(BE=(6asqrt2)/5),(ED=(9asqrt2)/5):}`

`@Delta EHB`$\backsim$`Delta ECD` (g.g)

`=>(EH)/(EC)=(BE)/(DE)` hay `(EH)/(EC)=((6asqrt2)/5)/((9asqrt2)/5)=2/3`

`=>d(C,(SBD))=3/2.d(H,(SBD))`

`@`Kẻ `HN bot BD` tại `N`, kẻ `HK bot SN` tại `K`

`=>HK bot (SBD)` /tự chi tiết chỗ này:)/

`@HN////AC`

`=>(HN)/((AC)/2)=(BH)/(BA)` hay `(HN)/((3asqrt2)/2)=2/3`

`=>HN=asqrt2=SH`

`=>Delta SHN` vuông cân tại `H`

`=>HK=(SN)/2=(a sqrt2. sqrt2)/2=a`

`=>d(C,(SBD))=3/2a`