câu hỏi huyền thoại số 6 (the Legend of Question 6)

Đáp án + giải thích các bước giải:

Nó khó ở thời điểm đấy thôi, với cả cũng không phải là không có ai làm được.

Đặt `(a^2+b^2)/(ab+1)=k; (a_1;b_1)` là bộ số `(a;b)` thỏa mãn điều kiện đề bài sao cho `a_1+b_1` nhỏ nhất

Giả sử `a_1>=b_1`

`->a_1^2-a_1b_1k+b_1^2-k=0`

`->a_1` là nghiệm phương trình `x^2-xb_1k+b_1^2-k=0` và có nghiệm thứ hai là `c_1=(b_1^2-k)/a_1` (Theo Viet)

`->b_1c_1<=a_1c_1=b_1^2-k<b_1^2`

`->c_1<b_1`

mà `b_1` là số bé nhất thỏa mãn điều kiện đề bài `-> c_1<=0 `

`(a_1+1)(c_1+1)=a_1c_1+a_1+c_1+1=b_1^2-k+ b_1k +1` (Theo Viet)

`=b_1^2+(b_1-1)k+1>=1`

`->c_1+1>0`

`->c_1> -1`

`->c_1=0 `

`->b_1^2-k=0`

`->k=b_1^2`

`->đpcm `

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Do `a, b` là các số nguyên dương `=> a, b >= 1`.

Ta có: `(a^2 + b^2)/2 >= (1 + 1)/2 = 1.` Dấu bằng xảy ra `<=> a = b = 1`.

`(a^2 + b^2)/2 >= ab`. Dấu bằng xảy ra `<=> a = b `

`=> ab + 1 <= (a^2 + b^2)/2 + (a^2 + b^2)/2`.

Dấu bằng xảy ra `<=> a = b = 1`.

Mà do `ab + 1 vdots a^2 + b^2 => ab + 1 >= a^2 + b^2`.

`=> a = b = 1.`

`=> a^2 + b^2 : ab + 1 = 1 + 1 : 1 + 1 = 1` là bình phương của một số nguyên.