cho hàm số `f(x) = \frac{x^{2}}{1 - x}` . Đạo hàm cấp `2020` của hàm số `f(x)`

`circ` Áp dụng công thức Leibnitz

Đáp án + Giải thích các bước giải:

Đặt $g(x) = x^2, h(x) = \dfrac{1}{1 - x}$

Ký hiệu: $f^{(n)}(x)$ là đạo hàm cấp $n$ của $f(x)$

$\Rightarrow f^{(2020)}(x) = (gh)^{(2020)}(x)$ 

Công thức Leibniz: $(gh)^{(n)}(x) = \displaystyle \sum\limits_{k = 0}^{n}C^k_n \big[g^{(n - k)}(x)h^{(k)}(x)\big]$

$\Rightarrow (gh)^{(2020)}(x) = \sum\limits_{k = 0}^{2020}C^k_{2020}\big[g^{(2020 - k)}(x)h^{(k)}(x)\big]$

$= C^0_{2020}g^{(2020)}(x)h(x) + C^1_{2020}g^{(2019)}(x)h'(x) + C^2_{2020}g^{(2018)}(x)h''(x) + ... + C^{2019}_{2020}g'(x)h^{(2019)}(x) + C^{2020}_{2020}g(x)h^{(2020)}(x) (*)$

Vì $g''(x) = 2$ nên $g^{(n)}(x) = 0$, $\forall n \ge 3, n \in \mathbb{N}$

$\Rightarrow$ Biểu thức $(*)$ được rút ngắn thành:

$C^{2018}_{2020}g''(x)h^{(2018)}(x) + C^{2019}_{2020}g'(x)h^{(2019)}(x) + C^{2020}_{2020}g(x)h^{(2020)}(x)$

$= \dfrac{2019 . 2020}{2} . 2 . h^{(2018)}(x) + 2020 . 2x . h^{(2019)}(x) + x^2 . h^{(2020)}(x)$

$= 2019 . 2020 h^{(2018)}(x) + 4040x . h^{(2019)}(x) + x^2 . h^{(2020)}(x)$

Ta có: $h'(x) = \dfrac{1}{(1 - x)^2}$

$h''(x) = \dfrac{2}{(1 - x)^3}$

$h'''(x) = \dfrac{6}{(1 - x)^4}$

$...$

$h^{(n)}(x) = \dfrac{n!}{(1 - x)^{n + 1}}$

$\Rightarrow 2019 . 2020 h^{(2018)}(x) + 4040x . h^{(2019)}(x) + x^2 . h^{(2020)}(x) = 2019 . 2020 . \dfrac{2018!}{(1 - x)^{2019}} + 4040x . \dfrac{2019!}{(1 - x)^{2020}} + x^2 . \dfrac{2020!}{(1 - x)^{2021}}$

$= \dfrac{2020!}{(1 - x)^{2019}} + \dfrac{2x . 2020!}{(1 - x)^{2020}} + \dfrac{2020!x^2}{(1 - x)^{2021}}$

$= \dfrac{2020!(1 - x)^2 + 2020! . 2x(1 - x) + 2020!x^2}{(1 - x)^{2021}}$

$= \dfrac{2020![(1 - x)^2 + 2x(1 - x) + x^2]}{(1 - x)^{2021}}$

$= \dfrac{2020!}{(1 - x)^{2021}}$

$\Rightarrow$ Đạo hàm cấp $2020$ của $f(x)$ là $\dfrac{2020!}{(1 - x)^{2021}}$