Cho hình hộp chữ nhật 𝐴𝐵𝐶𝐷.𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′ có 𝐴𝐵=1,𝐵𝐶=2;𝐴𝐴′=3 (tham khảo hình vẽ). Khoảng cách giữa hai đường 𝐴𝐵′ và 𝐵𝐶′ bằng?

A. $\frac{6}{7}$
B. $\frac{6\sqrt{13}}{13}$
C. $\frac{7}{6}$
D. $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

Mọi người giải chi tiết giúp mình với. Mình cảm ơn ạ

Đáp án:

Gọi `O` là tâm hcn `ABCD`

`@AB'////DC' sub (BDC')`

`=>AB////(BDC')`

`=>d(AB',BC')=d(AB',(BDC'))=d(A,(BDC'))`

Mà `d(A,(BDC'))=d(C,(BDC'))` (vì `(OA)/(OC)=1`)

`=>d(AB',BC')=d(C,(BDC'))`

___________________________________________________

`@C C' bot (ABCD) sup BD `

`{:(=>C C' bot BD),("Kẻ " CE bot BD):}}`

`=>BD bot (C'CE)`, mà `BD sub (BDC')`

`=>(BDC') bot (C'CE)` theo giao tuyến `C'E`

Kẻ `CH bot C'E` tại `H=>C'E bot (BDC') `

`=>d(C,(BDC'))=CH`

`@Delta BCD` vuông tại `C` có `CE` là đường cao:

`1/(CE^2)=1/(BC^2)+1/(CD^2)`

`@Delta C'CE` vuông tại `C` có `CH` là đường cao:

`1/(CH^2)=1/(CE^2)+1/(C C^2)`

`=>1/(CH^2)=1/(BC^2)+1/(CD^2)+1/(C C^2)=1/4+1+1/9=49/36`

`=>CH=6/7`

`=>d(AB',BC')=d(C,(BDC'))=6/7`

____________________________________________________

nếu vẽ ra quá phức tạp có thể dùng công thức nhanh trong tứ diện vuông:

Xét thấy `C.BDC'` là tứ diện vuông, đặt `d(C,(BDC'))=h`:

`=>1/(h^2)=1/(BC^2)+1/(CD^2)+1/(C C^2)`

Đáp án: A 

Giải thích các bước giải:

Xét hệ trục tọa độ $ADBA'$ như hình vẽ

Ta có:

$\vec{AB'}=(0, -1, -3)$

$\vec{BC'}=(2, 0, 3)$

$\to [\vec{AB'}, \vec{BC'}]=(-3, -6, 2)$

Ta có: $\vec{AB}=(0, 1, 0)$

$\to$Khoảng cách $AB', BC'$ là:

$d(AB', BC')=\dfrac{|(-3)\cdot 0+(-6)\cdot 1+2\cdot 0|}{\sqrt{(-3)^2+(-6)^2+2^2}}=\dfrac67$

$\to A$