Cho hình chóp đều SABCD cạnh a , gọi A' là trung điểm SA , B' là trung điểm SB , C' là trung điểm SC . Tính diện tích của thiết diện khi mp (A'B'C') cắt hình chóp

Nhận thấy `A^'B^' //// AB` và `B^'C^' //// BC` theo tính chất đường trung bình trong tam giác

Mà: `A^'B^' nn B^'C^' = {B^'}, AB nn BC = {B}`

Thêm vào đó `A^'B^', B^'C^' subset (A^'B^'C^')` và `AB,BC subset (ABC)`

`=>` `(A^'B^'C^') //// (ABCD)`

`=>` `CD //// (A^'B^'C^')`

Xét `(A^'B^'C^')` và `(SCD)`, có: `C^'` chung và `CD //// (A^'B^'C^')`

`=>` `(A^'B^'C^') nn (SCD)=d` qua `C^'`, song song `CD` và cắt `SD` tại `D^'`

Khi đó:

`(A^'B^'C^') nn (SAB)=A^'B^'`

`(A^'B^'C^') nn (SBC)=B^'C^'`

`(A^'B^'C^') nn (SCD)=C^'D^'`

`(A^'B^'C^') nn (SDA)=D^'A^'`

`=>` Thiết diện là tứ giác `A^'B^'C^'D^'`

Dễ chứng minh được `A^'B^' //// C^'D^'` và `A^'D^' //// B^'C^'`

`=>` `A^'B^'C^'D^'` là hình bình hành

`=>` `S_(A^'B^'C^')=A^'B^'*B^'C^'*sin hat(A^'B^'C^')`

Dễ thấy rằng `hat(A^'B^'C^')=hat(ABC)=90^o`

`=>` `S_(A^'B^'C^')=A^'B^'*B^'C^'`

`=1/2*AB*1/2*BC`

`=a^2/4`