tính $\int {\frac{1}{(1+x^2)^6}} dx $

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

1. Để tính tích phân của hàm f(x) = (1 + x^2)^6, ta có thể sử dụng quy tắc tích phân bậc cao hoặc sử dụng công thức đổi biến số. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ sử dụng công thức đổi biến số.

   Đặt u = 1 + x^2, ta có du = 2x dx.
   Khi đó, tích phân ban đầu sẽ trở thành:
   ∫(1/(1 + x^2)^6) dx = ∫(1/u^6) * (1/2x) du

   Chia tử và mẫu cho 2x, ta có:
   ∫(1/(1 + x^2)^6) dx = (1/2) * ∫(1/(u^6 * x)) du

   Tiếp theo, chúng ta có thể tách biến số và tích phân:
   (1/2) * ∫(1/(u^6 * x)) du = (1/2) * ∫(u^-6 * x^-1) du

   Tích phân này có thể được tính bằng cách sử dụng quy tắc tích phân bậc cao hoặc công thức đổi biến số tiếp tục. Tuy nhiên, để giải quyết nhanh chóng, chúng ta có thể sử dụng công thức đổi biến số một lần nữa.

   Đặt v = u^-6, ta có dv = -6u^-7 du.
   Khi đó, tích phân trở thành:
   (1/2) * ∫(u^-6 * x^-1) du = (1/2) * ∫v * (-6u^-7) du
   = (1/2) * ∫(-6v/u^7) du

   Tiếp tục áp dụng công thức đổi biến số, ta có:
   (1/2) * ∫(-6v/u^7) du = (1/2) * ∫(-6v/u^7) * (-7u^-8) du
   = (1/2) * ∫(42v/u^15) du

   Tích phân này có thể được tính bằng cách sử dụng quy tắc tích phân bậc cao. Ta có:
   (1/2) * ∫(42v/u^15) du = (1/2) * (-42/14) * u^-14 + C
   = -21/(u^14) + C

   Thay lại giá trị ban đầu của u = 1 + x^2, ta có:
   -21/(u^14) + C = -21/((1 + x^2)^14) + C

   Vậy, kết quả cuối cùng của tích phân là -21/((1 + x^2)^14) + C.