Cho đường tròn (O; 6cm) và A là điểm nằm ngoài đường tròn (O) sao cho OA = 10cm. Qua A vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C là các tiếp điểm); AO cắt BC tại D. a) Chứng minh OA là đường trung trực của BC; b) Tính BD; c) Vẽ đường kính BE, AE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Gọi G là trung điểm của EF, đường thẳng OG cắt đường thẳng BC tại H. Chứng minh EH là tiếp tuyến của đường tròn (O

Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AO$ là trung trực $BC$

b.Từ câu a $\to OA\perp BC=D$ là trung điểm $BC\to DB=DC=\dfrac12BC$

Vì $AB$ là tiếp tuyến của $(O)\to OB\perp AB\to \Delta BAO$ vuông tại $B, BO\perp AO$

$\to OD\cdot OA=OB^2\to OD=\dfrac{OB^2}{OA}=3.6$

$\to BD=\sqrt{OB^2-OD^2}=4.8$

c.Ta có: $G$ là trung điểm $FE\to GO\perp EF\to OH\perp EF=G$

$\to \widehat{OGA}=\widehat{ODH}(=90^o)$

Mà $\widehat{GOA}=\widehat{DOH}$

$\to \Delta OHA\sim\Delta ODH(g.g)$

$\to \dfrac{OH}{OD}=\dfrac{OH}{OA}$

$\to OG\cdot OH=OD\cdot OA=OB^2=OE^2$

$\to \dfrac{OG}{OE}=\dfrac{OE}{OH}$

Mà $\widehat{GOE}=\widehat{HOE}$

$\to \Delta OGE\sim\Delta OEH(c.g.c)$

$\to \widehat{HEO}=\widehat{OGE}=90^o$

$\to HE\perp OE$

$\to HE$ là tiếp tuyến của $(O)$