Cho đường tròn (O, R) và điểm A nằm ngoài đường tròn . Từ A kẻ tiếp tuyến AE với đường tròn (O, R) (E là tiếp điểm). Vẽ dây EF của đường tròn vuông góc với AO tại M Cho đường tròn (O, R) và điểm A nằm ngoài đường tròn . Từ A kẻ tiếp tuyến AE với đường tròn (O, R) (E là tiếp điểm). Vẽ dây EF của đường tròn vuông góc với AO tại M. a) (1,0 điểm) Cho bán kính R=10cm,OM =6cm . Tính độ dài dây EF; b) (1,0 điểm) Chứng minh AF là tiếp tuyến của đường tròn (O, R); c) (0,5 điểm) Kẻ đường kính EC. Tiếp tuyến tại C của đường tròn (O, R) cắt tia EF tại D. Chứng minh 2R2 = EM.ED; d) (0,5 điểm) Kẻ tiếp tuyến DB với đường tròn (O, R) (B là tiếp điểm, B khác C). Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $OM\perp EF\to M$ là trung điểm $EF$

                $ME=\sqrt{OE^2-OM^2}=8$

$\to EF=2EM=16$

b.Ta có: $OM\perp EF\to OA\perp EF\to OA$ là trung trực $EF\to E, F$ đối xứng qua $OA$

$\to \widehat{AFO}=\widehat{AEO}=90^o$

$\to AF\perp OF$

$\to AF$ là tiếp tuyến của $(O)$

c.Vì $EC$ là đường kính của $(O)\to \widehat{EFC}=90^o\to FC\perp ED$

        $DC$ là tiếp tuyến của $(O)\to DC\perp OC\to DC\perp CE\to \Delta ECD$ vuông tại $C$

$\to EF\cdot ED=EC^2=(2R)^2=4R^2$

$\to 2EM\cdot ED=4R^2$

$\to EM\cdot ED=2R^2$

d.Gọi $OD\cap BD=H$

Vì $DB, DC$ là tiếp tuyến của $(O)\to DO\perp BC=H$ là trung điểm $BC, OC\perp CD$

$\to OH\cdot OD=OC^2=OE^2=OM\cdot OA$

$\to \dfrac{OH}{OA}=\dfrac{OM}{OD}$

Mà $\widehat{AOH}=\widehat{MOD}$

$\to \Delta OHA\sim\Delta OMD(c.g.c)$

$\to \widehat{OHA}=\widehat{OMD}=90^o$

$\to AH\perp OD$ tại $H$

Mà $BC\perp OD$ tại $H$

$\to A, B, C$ thẳng hàng