Câu 1: cho AB là đường kính của đường tròn ( O ; R ). Lấy điểm C thay đổi trên đường tròn ( C $\neq$ A, C $\neq$ B ). Kẻ CH AB tại H. Gọi I là trung điểm của AC, OI tiếp tuyến tại A của đường tròn ( O ; R ) tại M, MB CH tại K. a) CM: 4 điểm: C, O, H, I cùng 1 đường tròn b) CM: MC là tiếp tuyến của ( O ; R ) c) CM: K là trung điểm của CH

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) Ta sẽ chứng minh rằng bốn điểm C, O, H, I nằm trên cùng một đường tròn.

Gọi ∠���=�∠CAH=α. Khi đó, ∠���=2�∠CAB=2α (đường tròn nội tiếp, góc nằm ở cung bán kính bằng một nửa góc nằm ở cùng).

Suy ra, ∠���=180−∠���=180−2�∠COH=180−∠CAB=180−2α.

Xét tam giác ���COH, ta có ∠���=180−∠���∠COH=180−∠CAB, nên ��CO là tiếp tuyến của đường tròn (�;�)(O;R) tại điểm �A.

Tiếp theo, ��CI là đường trung bình của tam giác ���CAH, nên ��CI cắt ��OH tại trung điểm �M.

Do đó, ta có ��=��CO=MO, tức là �,�,�,�C,O,H,I nằm trên cùng một đường tròn.

b) Ta đã chứng minh ở phần a) rằng ��CO là tiếp tuyến của đường tròn (�;�)(O;R) tại điểm �A, nên ��MC cũng là tiếp tuyến tại �A, vì ��MI là đường trung bình của tam giác ���CAH.

c) Gọi �N là trung điểm của ��CH. Chúng ta cần chứng minh �K là trung điểm của ��CH.

Vì ��CO là tiếp tuyến tại �A, nên ∠���=90∠ACO=90.

Do đó, tam giác ���ACH là tam giác vuông tại �A.

Vì �I là trung điểm của ��AC, nên ��IN là đường trung bình của tam giác ���ACH.

Vậy nên �K, là giao điểm của ��MB và ��IN, cũng là trung điểm của ��CH.

Như vậy, ta đã chứng minh được �K là trung điểm của ��CH.