Bpt `log_{2}(2^x+1)+log_{3}(4^x+2)<=2` có tập nghiệm

Đáp án: $\text{D}=(-\infty;0]$

Ghi chú: Thực ra, bài này thường hay "mò nghiệm", tức là chứng minh h/số luôn đb/ nb rồi sẽ có một tới hai nghiệm, bấm máy tính nghiệm đó thì là xong. Cách biến đổi thường khá dài nên bình thường sẽ quy về cách đó để tiết kiệm thời gian làm bài nếu làm tự luận. 

Giải thích các bước giải:

$$\log_2(2^x +1) + \log_3(4^x +2) \leq 3$$

Xét hàm số $f(x)=\log_2(2^x +1) + \log_3(4^x +2)$

$⇒f'(x)=\dfrac{\ln{2}\cdot2^x}{\ln{2}\cdot(2^x +1)} + \dfrac{\ln{4}\cdot4^x}{\ln{3}\cdot(4^x +1)}$

$⇔f'(x)=\dfrac{2^x\cdot\ln{3}\cdot(4^x+1)+\ln{4}\cdot4^x\cdot(2^x+1)}{(2^x +1)\ln{3}\cdot(4^x +1)}>0$ (Mẫu luôn dương, tử luôn dương $⇒f'(x)>0$)

$⇒$ Hàm số $f(x)$ luôn đồng biến trên tập xác đinh, và chỉ có một giao điểm với đồ thị đường thẳng $y=2$.

$⇒$ Phương trình $\log_2(2^x +1) + \log_3(4^x +2)=2$ chỉ có duy nhất một nghiệm.

Nhận thấy, $x=0$ là một nghiệm của phương trình $\log_2(2^x +1) + \log_3(4^x +2)=2$.

(Bạn thay số để tìm ra miền xác định, mình xin phép không trình bày để bài làm không quá dài. Sau khi thử số, dễ thấy rằng khoảng $x\leq 0$ luôn cho thỏa mãn bất phương trình của giả thuyết đề bài.)

$⇒\log_2(2^x +1) + \log_3(4^x +2) \leq 3$ tồn tại khi $x\leq0$ 

$⇒ \textbf{KL. } \text{D}=(-\infty;0]$

$@thomasnguyen1254$

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Để giải bất phương trình logarit, ta cần xác định các điều kiện để logarit tồn tại và thực hiện các phép biến đổi để tìm tập nghiệm. Đầu tiên, ta xác định điều kiện để logarit tồn tại:

- Với logarit cơ số 2: 2x + 1 > 0 => x > -1/2

- Với logarit cơ số 3: 4x + 2 > 0 => x > -1/2

Tiếp theo, ta thực hiện phép biến đổi:

log2(2x+1) + log3(4x+2) ≤ 2log2(2x+1) + log3(4x+2) ≤ 2

=> log2(2x+1) + log3(4x+2) - 2log2(2x+1) - log3(4x+2) ≤ 0

=> log2(2x+1) - 2log2(2x+1) + log3(4x+2) - log3(4x+2) ≤ 0

=> -log2(2x+1) - log3(4x+2) ≤ 0

=> -log2(2x+1) - log3(4x+2) + log2(2x+1) + log3(4x+2) ≤ 0

=> log2(2x+1) + log3(4x+2) - log2(2x+1) - log3(4x+2) ≤ 0

=> 0 ≤ 0 Vì 0 ≤ 0 luôn đúng, nên bất phương trình đã cho là đúng với mọi giá trị của x thỏa mãn điều kiện x > -1/2. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là tất cả các giá trị x thỏa mãn x > -1/2.