Cho nửa đường đường tròn (O; R), đường kính AB. Một điểm M cố định thuộc đoạn thẳng OB (M khác B và M khác O). Đường thẳng d vuông góc với AB tại M cắt nửa đường tròn đã cho tại N. Trên cung NB lấy điểm E bất kì (E khác B và E khác N). Tia BE cắt đường thẳng d tại C, đường thẳng AC cắt nửa đường tròn tại D. Gọi H là giao điểm của AE và đường thẳng d. a) Chứng minh tứ giác BMHE nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh ba điểm B, D, H thẳng hàng.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$a)$ Ta có: $\widehat{HMB}$ = `90^o` `(` giải thiết `)`

$\widehat{HED}$ `= 90^o` `(`góc nột tiếp chắn nửa đường tròn`)`

Xét tứ giác `HEBM` ta có :

$\widehat{HMB}$ ; $\widehat{HEB}$ ở vị trí đối nhau.

$\widehat{HMB}$ `+` $\widehat{HEB}$ `180^o`

`⇒`  Tứ giác `HEBM` nội tiếp đường tròn.

$b)$

Xét $\triangle$ `CAB` có `AE ⊥ CB`

Nên `AE` là đường cao trong $\triangle$ `CAB`.

`CA ⊥ BD` `(`góc nội tiếp chắn nửa đường tròn`)`

`⇒` `BD` là đường cao trong $\triangle$ `CAB`.

Ta có `BD` giao với `AE` tại `H` nên `H` là trực tâm của $\triangle$ `CAB`.

Vậy `B, H, D` thẳng hàng.