Cho tứ diện ABCD có cạnh bằng a. Trên tia đối tia CB, DB lần lượt lấy các điểm E, F sao cho CE=a, DF=a. Gọi M là trung điểm đoạn AB.Diện tích S thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (MEF) là

Đáp án:S=a^2/6

Giải thích các bước giải:Trong mặt phẳng (ABC), gọi H là giao điểm của ME với AC.
Trong mặt phẳng (ABD), gọi K là giao điểm của MF và AD.
Ta có: (MEF)∩(ABC)=MH(MEF)∩(ABD)=MK(MEF)∩(ACD)=HK.
Do đó tam giác MHK là thiết diện của tứ diện cắt bởi (MEF).
Dễ thấy H,K lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABE và ABF.
Ta có: AH=AK=HK=2a3.
Xét hai tam giác AMH và AMK có AM chung, MAHˆ=MAKˆ=600,AH=AK=2a3 nên hai tam giác này bằng nhau. Suy ra MH=MK. Vậy tam giác MHK cân tại M.
Áp dụng định lí cosin trong tam giác AMH:
MH2=AM2+AH2−2AMAH.cos600=(a2)2+(2a3)2−a23=13a236⇒MH=a13√6.
Gọi I là trung điểm của đoạn HK. Ta có MI⊥HK.
Suy ra: MI2=MH2−HI2=13a236−a29=a24⇒MI=a2.
Diện tích thiết diện MHK là: S=12MI.HK=12.2a3.a2=a26.