giải giúp mik câu c vs ạ.Mik cần gấp ngay và luôn ạ Cho đường tròn (O; R) . Từ một điểm A ở ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm ). Gọi H là trung điểm của BC. a) C/minh 3 điểm A, H, O thẳng hàng và các điểm A, B, C, O cùng thuộc một đường tròn. b) Kẻ đường kính BD của (O). Vẽ CK vuông góc với BD. Chứng minh AC. CD = CK. AO. c) Tia AO cắt đường tròn (O) tại M và N. Chứng minh MH. NA=MA. NH. d) AD cắt CK tại I . Chứng minh rằng I là trung điểm của CK.

Đáp án:

a) $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)\Rightarrow AB=AC$.

$\Rightarrow A$ thuộc đường trung trực của $BC$.

Ta có $OB=OC$ (bán kính của hình tròn).

$\Rightarrow O$ thuộc đường trung trực của $BC$.

$\Rightarrow AO$ là đường trung trực của $BC$

$\Rightarrow AO$ đi qua trung điểm của $BC$

$\Rightarrow AO$ đi qua $H\Rightarrow A,H,O$ thẳng hàng.

$AB$ là tiếp tuyến của $(O)\Rightarrow \widehat{ABO}=90^\circ$.

$AC$ là tiếp tuyến của $(O)\Rightarrow \widehat{ACO}=90^\circ$.

Ta có $\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90^\circ+90^\circ=180^\circ$

$\Rightarrow ABOC$ là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).

$\Rightarrow A,B,C,O$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có $\widehat{BCD}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

$\Rightarrow\widehat{DBC}+\widehat{BDC}=90^\circ$

Lại có $\widehat{KCD}+\widehat{CDK}=90^\circ$

$\Rightarrow\widehat{DBC}+\widehat{BDC}=\widehat{KCD}+\widehat{CDK}$

$\Rightarrow\widehat{DBC}=\widehat{KCD}$ (loại góc trung gian).

Tứ giác $ABOC$ nội tiếp (chứng minh trên).

$\Rightarrow\widehat{DBC}=\widehat{OAC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $OC$).

Kết hợp hai góc vuông ta có $\Delta AOC\backsim\Delta CDK$ (góc-góc).
$\Rightarrow\dfrac{AC}{CK}=\dfrac{AO}{CD}\Rightarrow AC.CD=AO.CK$.
c) $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$ với $B$ là tiếp điểm

$\Rightarrow\widehat{ABM}=\widehat{MNB}$ (cùng chắn cung $BM$).

Ta có $\widehat{MBN}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

$\Rightarrow\widehat{BMN}+\widehat{MNB}=90^\circ$.

Lại có $\widehat{BMN}+\widehat{MBH}=90^\circ$ 

$\Rightarrow\widehat{MNB}=\widehat{MBH}$ (loại góc trung gian).

Mà $\widehat{ABM}=\widehat{MNB}\Rightarrow\widehat{MNB}=\widehat{MBH}$

$\Rightarrow BM$ là tia phân giác của $\widehat{ABH}$.

Mà $BM\,\bot\,BN\Rightarrow BN$ là phân giác trong của $\Delta ABH$.

Áp dụng tính chất các đường phân giác trong tam giác:
$\dfrac{AM}{MH}=\dfrac{AB}{BH}=\dfrac{AN}{HN}\Rightarrow AM.HN=AN.MH$.
d) Gọi $E$ là giao điểm của $AD$ và $(O)$.

Ta có $AB//IK$ do cùng vuông góc với $BD$.

$\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{DIK}$ (góc đồng vị bằng nhau).

Mà $\widehat{EIC}=\widehat{DIK}\Rightarrow\widehat{EAB}=\widehat{EIC}$.

$\widehat{AHB}=\widehat{AEB}$ cùng bằng 90 độ.

$\Rightarrow ABHE$ là tứ nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).

$\Rightarrow\widehat{EAB}=\widehat{EHC}$ (góc kề bù-góc đối).

Mà $\widehat{EAB}=\widehat{EIC}\Rightarrow\widehat{EIC}=\widehat{EHC}$

$\Rightarrow CEHI$ là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết).

Tứ giác $CDBE$ là tứ giác nội tiếp đường tròn $(O)$.

$\Rightarrow\widehat{CED}=\widehat{DBC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $CD$).

Lại có $\widehat{OAB}=\widehat{DBC}$ (cùng phụ $\widehat{AOB}$).

$ABHE$ là tứ giác nội tiếp (chứng minh trên).

$\Rightarrow\widehat{OAB}=\widehat{BEH}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $OB$).

$\Rightarrow\widehat{DBC}=\widehat{BEH}\Rightarrow\widehat{CED}=\widehat{BEH}$

$\Rightarrow\widehat{CED}+\widehat{HED}=\widehat{HED}+\widehat{BEH}$

$\Rightarrow\widehat{HEC}=\widehat{BED}$ (các góc kề nhau).

Mà $\widehat{BED}=90^\circ\Rightarrow\widehat{HEC}=90^\circ$.

Tứ giác $HICE$ nội tiếp (chứng minh trên).

$\Rightarrow\widehat{HEC}+\widehat{HIC}=180^\circ$ (tổng góc đối).

$\Rightarrow\widehat{HIC}=180^\circ-\widehat{HEC}=180^\circ-90^\circ=90^\circ$

$\Rightarrow HI$ là đường cao của $\Delta HCK$.

$H$ là trung điểm của $BC$ (giả thiết).

$\Rightarrow HK$ là đường trung tuyến của $\Delta BCK$
Mà $\Delta BCK$ vuông tại $K\Rightarrow HK=\dfrac12BC=HC$
$\Rightarrow\Delta HCK$ cân tại $H$ (hai cạnh bên bằng nhau).

Mà $\Delta HCK$ có đường cao $HI$ ($I\in CK$).

$\Rightarrow HI$ là đường trung tuyến của $\Delta HCK$

$\Rightarrow I$ là trung điểm của đoạn thẳng $CK$.