đúng và đủ bước là được ạ 5sao + cám ơn + ctlhn

a) $d_1$ cắt trục tung tại điểm có tung độ là $- 3 \Rightarrow A\left( {0, - 3} \right) \in {d_1}.$

Thay $\left\{ \begin{array}{l} x = 0\\ y = - 3 \end{array} \right.$ vào $d_1$, ta được:

\[- 3 = \left( {m - 1} \right) \cdot 0 + 2m + 1 \Leftrightarrow 2m + 1 = - 3 \Leftrightarrow m = - 2.\]

Thay $m=-2$ vào $d_1$, ta được: ${d_1}:y = - 3x - 3.$

Cho $x = 0 \Rightarrow y = - 3 \Rightarrow A\left( {0, - 3} \right) \in {d_1}.$

Cho $y = 0 \Rightarrow x = - 1 \Rightarrow B\left( { - 1,0} \right) \in {d_1}.$

Vậy $d_1$ đi qua $A(0,-3)$ và $B(-1,0)$.

$d \cap {d_1}$ tại điểm $E$ có toạ độ là nghiệm của hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l} y = - 3x - 3\\ y = x + 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + 1 = - 3x - 3\\ y = x + 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = - 1\\ y = 0 \end{array} \right. \Rightarrow E\left( { - 1,0} \right).\]

Vì $y_E=0$ nên $E\in Ox$.

b) Gọi ${M_0}\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ điểm cố định mà họ đường thẳng ${d_1}$ luôn đi qua, khi đó:

\[{y_0} = \left( {m - 1} \right){x_0} + 2m + 1 \text{ luôn đúng }, \forall m\\ \Leftrightarrow m{x_0} - {x_0} + 2m + 1 - {y_0} = 0 \text{ luôn đúng }, \forall m\\ \Leftrightarrow m{x_0} + 2m - \left( {{x_0} + {y_0} - 1} \right) = 0 \text{ luôn đúng }, \forall m\\ \Leftrightarrow m\left( {{x_0} + 2} \right) - \left( {{x_0} + {y_0} - 1} \right) = 0 \text{ luôn đúng }, \forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} + 2 = 0\\ {x_0} + {y_0} - 1 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_0} = - 2\\ {y_0} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow {M_0}\left( { - 2,3} \right). \]

Vậy $d_1$ luôn đi qua điểm cố định $M_0(-2,3)$.

Kẻ $OH \bot {d_1}$ tại $H$. Xét tam giác vuông $OHM$, có: $OH \leqslant OM$.

Như vậy, $OH\max \Leftrightarrow H \equiv M.$ Khi đó $\left( {OM} \right) \bot {d_1}.$

Phương trình đường thẳng $(OM)$ có dạng $y=ax.$

Vì $M_0(2,-3)\in (OM)$ nên $- 3 = a \cdot 2 \Leftrightarrow a = - \frac{3}{2} \Rightarrow y = - \frac{3}{2}x.$

Để $\left( {OM} \right) \bot \left( d \right)$ thì $a \cdot a' = - 1$

\[\Leftrightarrow - \frac{3}{2}\left( {m - 1} \right) = - 1 \Leftrightarrow m - 1 = \frac{2}{3} \Leftrightarrow m = \frac{5}{3}.\]

Vậy $m=\dfrac{5}{3}$ thì khoảng cách từ gốc toạ độ $O$ đến đường thẳng $d_1$ đạt giá trị lớn nhất.