Cho (O, R) và A sao cho OA= 2R. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với (O). B, C là tiếp điểm. Vẽ đường kính BOD. a) CM: 4 điểm A, B, O, C thuộc `1` đường tròn. b) CM: DC // OA. C) Đường tung trực của BD cắt AC và CD lần lượt tại S và E. CM: OCEA là hình thang cân. d) Gọi I là giao điểm của OA với (O), K là giao của tia SI và AB. Tính diện tích tứ giác AKOS theo R.

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

`a)`

Vì `hat(OBA) = 90^o ; hat(OCA) = 90^o` và cùng nhìn cạnh `OA`

`-> A;B;O;C` nội tiếp `->` `A;B;O;C` thuộc `1` đường tròn `->` ĐPCM

`b)`

Vì `hat(DCB)` chắn nửa đường tròn `-> hat(DCB) = 90^o`

`-> CD ⊥ BC`

Lại có `: OB = OC = R (GT ) ; AB = AC (` T`/`c hai tiếp tuyến cắt nhau `)`

`-> OA` là đường trung trực `BC (` Cách đều hai đầu mút `)`

`-> OA bot BC`

`-> OA //// CD (`cùng `bot BC ) ->` ĐPCM

`c)`

Gọi giao điểm `OA ; BC` là `H`

Vì `E in CD -> CD //// OA`

Hệ thức lượng `: OB² = OH . OA`

`-> R² = OH . 2R -> OH = R/2`

Mặt khác `: OA = AH + OH -> AH = 2R - R/2 = 3/2R`

Hệ thức lượng `: AC² = AH . OA = 3/2R . 2R = 3R² -> AC = Rsqrt(3)`

`cosBOA = (OB)/(OA) = R/(2R) = 1/2 -> hat(BOA) = 60^o`

mà `OA //// DE ( cmt ) -> hat(ODC) = hat(BOA) = 60^o (` đồng vị `)`

`tanODC = (OE)/(OD) -> tan60^o = (OE)/R -> OE = Rsqrt(3)`

`-> AC = OE = Rsqrt(3)`

Kết hợp `: CE //// OA ( cmt ) -> AOCE` là hình thang cân `->` ĐPCM

`d)`

Dễ chứng minh được `: ΔCSO = ΔESA ( c - g - c )`

`-> hat(SEA) = 90^o ; AE = R`

Kết hợp `: hat(EOB) = hat(OBA) = 90^o`

`-> OBAE` là hình chữ nhật

Vì `OI = R = 1/2OA -> I` là trung điểm `OA`

mà `S` là giao điểm hai đường chéo trong hình thang cân

`-> SI` là đường trung trực `OA`

`hat(BAO) = hat(CAO) = 90^o - 60^o = 30^o`

`tanCAO = (IS)/(IA) -> IS = tan30^o . R = (Rsqrt(3))/3`

Tương tự trong `ΔKAI : KI = (Rsqrt(3))/3`

`-> S_(AKOS) = 1/2 . OA . KS = 1/2 . 2R . ( KI + SI )`

`= R . (2Rsqrt(3))/3 = (2R²sqrt(3))/3`