Cho đường thẳng `(d) : y=(m-1)x+2m+1(m ne 1)` `b)` Tìm `m` để kc từ gốc `O` đến `(d)` đạt `max`.

`a)(d):y=(m-1)x+2m+1` với `m\ne 1`

Gọi điểm cố định mà đường thằng `(d)` luôn đi qua là `A(x_0 ;y_0)`, do đường thẳng `(d)` luôn đi qua điểm `A(x_0 ;y_0)`

`=>(m-1)x_0 +2m+1=y_0AAm`

`<=>mx_0 -x_0 +2m+1-y_0=0AAm`

`<=>m(x_0 +2)-x_0 -y_0 +1=0AAm`

`<=>` $\begin{cases}x_0 +2=0\\x_0 +y_0 -1=0\end{cases}$ `<=>` $\begin{cases}x_0=-2\\y_0=1-x_0=1-(-2)=3\end{cases}$

Vậy điểm cố định mà đường thẳng `(d)` luôn đi qua là `A(-2;3)`

`b)` Gọi phương trình đường thẳng `OA` là `y=ax` ( Do `OA` đi qua gốc toạ độ )

Mà `OA` đi qua `A(-2;3)=> -2a=3<=>y= -3/2=>y=-3/2x`

Gọi `H` là hình chiếu vuông góc của `O` lên đường thẳng `(d)`. Khi đó, khoảng cách từ gốc `O` đến đường thẳng `(d)` là `OH`, mà `OH<=OA=>` Khoảng cách từ `O` đến đường thằng `(d)` lớn nhất khi và chỉ khi `OA⊥(d)` ( Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu )

Dấu "=" xảy ra `<=>H≡A=>OA⊥(d)=> -3/2(m-1)=-1<=>m-1=2/3<=>m=5/3`

Ta có : `O(0;0),A(-2;3)=>OA=\sqrt{[0-(-2)]^2 +(0-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}`, hay `OH=\sqrt{13}`

Vậy với `m=5/3` thì khoảng cách từ gốc `O` đến `(d)` đạt giá trị lớn nhất