Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Vẽ hai tiếp tuyến Bx và Cy của (O).Gọi A là điểm trên nửa đường tròn sao cho AB<AC. Tiếp tuyến tại A của (O) cắt Bx và Cy tại M và N. Đường thẳng AC cắt Bx tại D. Chứng minh M là trung điểm BD. Tớ cần gấp ạ

Ta có:

`{(hat{BOM}=hat{AOM}),(hat{AON}=hat{CON}):}`(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

`⇒hat{BOM}+hat{CON}=hat{AOM}+hat{AON}=hat{MON}`

Mà `hat{BOM}+hat{CON}+hat{MON}=180^o`

`⇒2*hat{MON}=180^o`

`⇒hat{MON}=90^o`

`⇒OM\botON(1)`

Gọi `ON \cap AC=E`

Ta có:`{(hat{ANE}=hat{CEN}),(AN=NC):}`(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Xét `ΔAEN` và `ΔCEN` ta có:

`{(\text{chung EN}),(AN=NC),(hat{ANE}=hat{CEN}):}`

`⇒ΔAEN=ΔCEN`

`⇒hat{AEN}=hat{CEN}`

Mà `hat{AEN}+hat{CEN}=180^o`

`⇒hat{AEN}=hat{CEN}=90^o`

`⇒EN\botAC`

`⇒ON\botAC(2)`

Từ `(1),(2)⇒OM` $\parallel$ `AC`

`⇒OM` $\parallel$ `DC` 

Xét `ΔBDC` ta có:

$\begin{cases} OM \parallel CD\\OB=OC \end{cases}$

`⇒BM=MD`

`⇒M` là trung điểm `BD(đpcm)`