Trên tiếp tuyến tại A của (O; R) lấy điểm B với AB = R. Từ A kẻ đường vuông góc với OB tại H, cắt (O) tại C. OB cắt cung nhỏ AC tại I. a) Chứng minh: BC là tiếp tuyến của đường tròn (O). b) Tính theo R độ dài BH, IH và AI.

Giải thích các bước giải:

`a)` Ta có: `ΔOAC` cân tại `O`

mà `OB` là đường cao

nên `OB` là phân giác của góc `AOC`

Xét `ΔOAB` và `ΔOCB` có

`OA=OC`

$\widehat{AOB}$`=`$\widehat{COB}$

`OB` chung

Do đó: `ΔOAB=ΔOCB`

$\widehat{OAB}$`=`$\widehat{OCB}$`=90^0`

`=>BC` là tiếp tuyến của `(O)`

`b)`Ta có: `ΔABO` vuông tại `A`

`=> B O^ 2 = B A^ 2 + A O^ 2`

`=> B O^ 2 = R^ 2 + R^ 2 = 2 R^ 2`

`=> B O = R` $\sqrt{2}$

Xét `ΔBOA` vuông tại `A` có `AH` là đường cao

nên `B H ⋅ B O = B A^ 2`

`=> B H ⋅ R` $\sqrt{2}$ `= R^ 2`

`=> B H =` $\frac{R^2}{R\sqrt{2}}$ `=` $\frac{R}{\sqrt{2}}$

Xét `ΔABO` vuông tại `A` có `AO=AB`

nên `ΔABO` vuông cân tại `A`

`=>`$\widehat{ABO}$`=`$\widehat{AOB}$`=45^0` 

Xét `ΔAOI` có `c o s A O I` =$\frac{O A^ 2 + O I^ 2 − A I^ 2}{2.OA.OI}$

`=>`  $\frac{R^ 2 + R^ 2 − A I^ 2}{2 ⋅ R ⋅ R}$ `= c o s 45` `=`$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 

`=> 2 R^ 2 − A I^ 2 = 2 R^ 2 ⋅`$\frac{\sqrt{2}}{2}$`= R^ 2 ⋅` $\sqrt{2}$

`=> A I^ 2 = 2 R^ 2 − R^ 2 ⋅` $\sqrt{2}$

`=> A I^ 2 = R^ 2 ( 2 −` $\sqrt{2}$ `)`

`=> A I = R ⋅`$\sqrt{2-\sqrt{2}}$

Xét `ΔOHA` vuông tại `H` có `c o s H O A =`$\frac{HO}{OA}$

`=>` $\frac{HO}{R}$`= c o s 45 =` $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 

`=> H O = R ⋅` $\frac{\sqrt{2}}{2}$

`OH+HI=OI`

`=> H I +` $\frac{R\sqrt{2}}{2}$ `=R`

`=> H I = R −` $\frac{R\sqrt{2}}{2}$ `= R ( 1 −` $\frac{\sqrt{2}}{2}$ `)``=` $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$`.R`