Cho đường tròn (O;R) và một điểm A ngoài đường tròn (O) sao cho OA = 3R. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với (O), (B, C là các tiếp điểm) a, Chứng minh OABC nội tiếp và OA vuông góc với BC b, Từ B vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường tròn tâm (O) tại D (D khác B), AD cắt đường tròn (O) tại E (E khác D). Tính tích AD. AE theo R c, Tia BE cắt AC tại F. C/m F là trung điểm của AC d, Tính theo R diện tích tam giác BDC Cần gấp!!!!

Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của $\left(O\right)\to AO\perp BC,\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o$

$\to ABOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$

b.Xét $\Delta ABE,\Delta ABD$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{ABE}=\widehat{BDE}=\widehat{ADB}$

$\to \Delta ABE\sim\Delta ADB\left(g.g\right)$

$\to \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AE}{AB}$

$\to AD.AE=AB^2=AO^2-OB^2=\left(3R\right)^2-R^2=8R^2$

c.Xét $\Delta FEC,\Delta FCB$ có:
Chung $\hat F$

$\widehat{FCE}=\widehat{FBC}$

$\to \Delta FCE\sim\Delta FBC\left(g.g\right)$

$\to \dfrac{FC}{FB}=\dfrac{FE}{FC}$

$\to FC^2=FE.FB$

Xét $\Delta FAE,\Delta FAB$ có:

Chung $\hat F$

$\widehat{FAE}=\widehat{BDE}=\widehat{FBA}$ vì $AC//DB$

$\to\Delta FAE\sim\Delta FBA\left(g.g\right)$

$\to \dfrac{FA}{FB}=\dfrac{FE}{FA}$

$\to FA^2=FE.FB=FC^2$

$\to FA=FC$

$\to F$ là trung điểm $AC$

d.Gọi $AO\perp BC=H$

$\to OH.OA=OB^2$

$\to OH=\dfrac{OB^2}{OA}=\dfrac13R$

$\to BH=\sqrt{OB^2-OH^2}=\sqrt{R^2-\left(\dfrac13R\right)^2}=\dfrac{2R\sqrt2}3\to BC=2BH=\dfrac{4R\sqrt2}3$

      $AH=AO-OH=3R-\dfrac13R=\dfrac83R$

$\to S_{ABC}=\dfrac12AH.BC=\dfrac12\cdot \dfrac83R\cdot \dfrac{4R\sqrt2}3=\dfrac{16\sqrt{2}R^2}{9}$

Ta có: $\Delta ABC\sim\Delta CBD\left(g.g\right)$

$\to \dfrac{S_{CBD}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{BC}{AB}\right)^2$

$\to S_{BCD}=\left(\dfrac{BC}{AB}\right)^2S_{ABC}$

$\to S_{BCD}=\left(\dfrac{\dfrac{4R\sqrt2}3}{2\sqrt2R}\right)^2\cdot\dfrac{16\sqrt{2}R^2}{9}=\dfrac{64\sqrt{2}R^2}{81}$

Hình trong ảnh nhé :)

a, Ta có:

$\left \{ {{\widehat{ABO}=90^O (Do AB là tiếp tuyến tại (O) của B)} \atop {\widehat{ACO}=90^O(Do AC là tiếp tuyến tại (O) của C)}} \right.$

Xét tứ giác ABOC có:

$\widehat{ABC}$ + $\widehat{ACO}$ = 180 độ

$\longrightarrow$ Tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp một đường tròn (do tổng 2 góc đối diện trong tứ giác = 180 độ) (đpcm)

Ta có: 

OB = OC = R

$\longrightarrow$ ΔOBC cân tại O

Mặt khác:

$\widehat{COA}$ = $\widehat{BOA}$ (t/c của 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$\longrightarrow$ OA là phân giác của Δ cân OBC

$\longrightarrow$ OA đồng thời cũng là đường cao của ΔOBC (t/c Δ cân)

$\longrightarrow$ OA ⊥ BC (đpcm)

b, Xét ΔABE và ΔABD có: 

$\widehat{BAD}$ chung

$\widehat{BDE}$ = $\widehat{EBA}$ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp chắn cung 1 cung thì bằng nhau)

$\longrightarrow$ ΔABE $\backsim$ ΔABD (g-g)

$\longrightarrow$ $\frac{AB}{AD}$ = $\frac{AE}{AB}$ 

$\longrightarrow$ AB² = AE.AD

Áp dụng định lý pytago trong Δ vuông ABC, ta có:

OA² = OB² + AB²

$\longrightarrow$ AB² = OA² - OB²

$\longrightarrow$ AB² = 9R² - R² = 8R²

hay AE.AD = 8R² 

c, Xét ΔFCE và ΔFCB có:

$\widehat{EFC}$ chung

$\widehat{FCE}$ = $\widehat{FBC}$ ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau )

$\longrightarrow$ ΔFCE $\backsim$ ΔFBC

$\longrightarrow$ $\frac{FC}{FB}$ = $\frac{FE}{FC}$ 

$\longrightarrow$ FC² = FE.FB (2)

Ta có: 

$\widehat{BDE}$ = $\widehat{DAF}$ (2 góc so le trong bằng nhau)

mà $\widehat{BDE}$ = $\widehat{ABF}$ (cmt)

$\longrightarrow$ $\widehat{DAF}$ = $\widehat{ABF}$

mà $\widehat{AFE}$ chung

$\longrightarrow$ ΔFAE $\backsim$ ΔFBA

$\longrightarrow$ $\frac{AF}{FB}$ = $\frac{FE}{AF}$ 

$\longrightarrow$ AF² = EF.BF (3)

$\longrightarrow$ AF² = FC² (từ 2)

$\longrightarrow$ AF = FC

$\longrightarrow$ F là trung điểm của AC (đpcm)

d, 

Do BD // AC và OC ⊥ AC nên OC ⊥ BD tại K và K là trung điểm của BD (đường kính vuông góc với dây)

Hai tam giác ΔCBK và ΔABO có:

$\left \{{{\widehat{CKB}=\widehat{ABO}=90^O} \atop {\widehat{BCK}=\widehat{BAO}} \right.$

Cho nên: ΔCKB $\backsim$ ΔABO, từ đó:

$\frac{CK}{AB}$ = $\frac{CB}{OA}$ = $\frac{KB}{OB}$ (4)

ΔABC vuông tại B, có BH là đường cao:

BH.OA = OB.AB = R.2R$\sqrt{2}$ = .2R²$\sqrt{2}$ 

Do đó: BH = $\frac{2R^{2}\sqrt{2}}{OA}$ = $\frac{2R^{2}\sqrt{2}}{3R}$ = $\frac{2R\sqrt{2}}{3}$

$\longrightarrow$ BC = 2.BH = $\frac{4R\sqrt{2}}{3}$ (5)

Từ (4) và (5), ta có:

$\frac{CK}{AB}$ = $\frac{CB}{OA}$ = $\frac{\frac{4R\sqrt{2}}{3}}{3R}$ = $\frac{4\sqrt{2}}{9}$

$\Longrightarrow$ CK = $\frac{4\sqrt{2}}{9}$ . AB = $\frac{16R}{9}$ 

Từ (4) và (5): 

$\frac{KB}{OB}$ = $\frac{4\sqrt{2}}{9}$ $\Longrightarrow$ KB = $\frac{4\sqrt{2}}{9}$ . OB = $\frac{4R\sqrt{2}}{9}$

Từ đó: BD = 2KB = $\frac{8R\sqrt{2}}{9}$

Vậy: diện tích ΔDBC là:

S = $\frac{1}{2}$.CK.BC = $\frac{1}{2}$.$\frac{16R}{9}$.$\frac{8R\sqrt{2}}{9}$=$\frac{64R²\sqrt{2}}{81}$