Hãy chứng minh rằng không tồn tại một tam giác vuông cân (tam giác vuông có hai cạnh bằng nhau) mà cạnh của nó có chiều dài là số nguyên.

Hãy gọi các cạnh của tam giác này là `a, a` và `c` (với a là số nguyên).

Theo định nghĩa của tam giác vuông cân, chúng ta có:

`a^2 + a^2 = c^2`

`2a^2 = c^2`

Nhưng điều này ngụ ý rằng `c^2` phải chia hết cho `2.` Và nếu `c^2` chia hết cho `2,` thì `c^2 `chắc chắn chia hết cho `4.`

Bởi vì `c^2` chia hết cho `4`, thì `c` phải chia hết cho `2` (vì bất kỳ số mũ của `2` nào cũng chia hết cho `2`). Vậy, chúng ta có thể viết `c` dưới dạng `c = 2k,` với `k` là một số nguyên.

Thay `c` vào phương trình `2a^2 = c^2,` chúng ta có:

`2a^2 = (2k)^2`

`2a^2 = 4k^2`

`a^2 = 2k^2`

Nhưng nếu `a^2` chia hết cho `2,` thì `a` phải chia hết cho `2.`

Vậy, `a^2` chia hết cho `4.` Nhưng nếu `a^2` chia hết cho `4,` thì `a` cũng phải chia hết cho `2` (vì bất kỳ số mũ của `2` nào cũng chia hết cho `2`).

Nhưng điều này đối lập với giả định ban đầu rằng `a` là một số nguyên lẻ (vì chúng ta đã giả sử tam giác vuông cân có cạnh là số nguyên).

Vì vậy, ta đạt đến một sự tương phản, và kết luận là không tồn tại tam giác vuông cân với cạnh là số nguyên.