Ai có thể giải bài này bằng công thức dễ thương được ko ạ?

Đáp án:

Giải thích các bước giải: hướng vắn tắt 

Chỗ nào chưa hiểu thì hỏi 

Với các dữ kiện đã cho dễ tính ra:

$ V_{S.BCD} = \dfrac{a³\sqrt{3}}{12}$

$ SC = SD = BD = a\sqrt{2}$

$ ⇒ ΔSBD $ cân $D$; $ ⇒ S_{SBD} = \dfrac{a²\sqrt{7}}{4}$

Khoảng cách từ $C$ đến $(SBD)$ là:

$ d = \dfrac{3V_{C.SBD}}{S_{SBD}} = \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$

Gọi $H,O$ lần lượt là trung điểm $AB$ và tâm hình vuông $ABCD$ ta được $SH\bot (ABCD)$

${d_{\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right)}} = {d_{(A,\left( {SBD} \right))}} = 2{d_{\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right)}}$.

Kẻ $HK//AO, HF\bot SK$ ta được $HK\bot BD$. Lại có $SH\bot BD\Rightarrow BD\bot (SHK)$. 

$\Rightarrow BD\bot HF$. Lại có $HF\bot SK\Rightarrow HF\bot (SBD)\Rightarrow {d_{\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right)}}$

Ta có $HK=\dfrac{1}{2}AO=\dfrac{1}{4}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$ do $AC$ là đường chéo của hình vuông và $HK$ là đường trung bình tam giác $ABO$
Dễ thấy $SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$
$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \dfrac{1}{{{d_{\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right)}}^2}} = \dfrac{1}{{H{K^2}}} + \dfrac{1}{{S{H^2}}}\\
 \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{d_{\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right)}}^2}} = \dfrac{{28}}{{3{a^2}}}\\
 \Leftrightarrow {d_{\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right)}}^2 = \dfrac{{3{a^2}}}{{28}}\\
 \Leftrightarrow {d_{\left( {H,\left( {SBD} \right)} \right)}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{{14}} \Rightarrow {d_{\left( {C,\left( {SBD} \right)} \right)}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}
\end{array}$