Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và tâm O là giao điểm giữa AC và BD, SA vuông góc vs ABCD, góc giữa SB và ABCD = 60* độ a) tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và ( ABCD) b) tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD c) tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SBC

`SA = AB.tan60^o = asqrt3`

`a)`

`{(SA bot BD),(AC bot BD):} => BD bot (SAC) => BD bot SO`

`{((SBD) nn (ABCD) = BD),((SBD) supset SO bot BD),((ABCD) supset AO bot BD):}`

`=> hat{(SBD),(ABCD)} = hat{(SO,AO)} = hat{SOA}`

`tan\hat{SOA} = {SA}/{AO} = {asqrt3}/{(asqrt2)/2} = sqrt6` `=> hat{SOA} = arctansqrt6`

`b)`

`{(SA bot CD),(AD bot CD):} =>CD bot (SAD)`

Kẻ `AH bot SD`

`=> AH bot (SCD) => d(A,(SCD)) = AH = {SA.AD}/{sqrt{SA^2+AD^2}} = {asqrt3}/2`
`c)`

`{(SA bot BC),(AB bot BC):} => BC bot (SAB)`

Kẻ `AK bot SB`

`=> AK bot (SBC) => d(A,(SBC)) = AK = {SA.AB}/{sqrt{SA^2+AB^2}} = {asqrt3}/2`

Đáp án+Giải thích các bước giải:

 $SA \bot (ABCD)$ suy ra góc giữa `SB` và `(ABCD)` là góc $SBA=60^\circ$

$\triangle SAB$ vuông tại `A` có $SA = AB\tan\widehat{SBA}=a.\tan 60^\circ=a\sqrt{3}$

a.

$\left.\begin{matrix} ABCD \text{là hình vuông} ⇒ AC \bot BD(1)\\SA \bot (ABCD) ⇒ SA \bot BD \end{matrix}\right\}⇒ BD \bot (SAC)⇒BD \bot SO(2)$ 

$(SBD) \cap (ABCD) = BD(3)$

Từ `(1),(2)` và `(3)` suy ra góc giữa `(SBD)` và `(ABCD)` là góc $SOA$

$\triangle ABD$ vuông tại `A` có: $BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=a\sqrt{2}=BC$

$⇒AO=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

$\triangle SAO$ vuông tại `A` có $\tan\widehat{SOA}=\dfrac{SA}{AO}=\dfrac{a\sqrt{3}}{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{6}$

$⇒\widehat{SOA}≈67^\circ 47'$

b.

 `ABCD` là hình vuông $⇒AD \bot CD$

$SA \bot (ABCD) ⇒ SA \bot CD$

$⇒ CD \bot (SAD)$

Trong `(SAD)` kẻ $AE \bot SD$ tại `E` 
$CD \bot (SAD) ⇒ CD \bot AE$

$⇒ AE \bot (SCD) ⇒ d(A,(SCD))=AE$

$\triangle SAD$ vuông tại `A` có `AE` là đường cao suy ra $AE=\dfrac{SA.AD}{\sqrt{SA^{2}+AD^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}.a}{\sqrt{\left(a\sqrt{3}\right)^{2}+a^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$

c.

 `ABCD` là hình vuông $⇒AB \bot BC$

$SA \bot (ABCD) ⇒ SA \bot BC$

$⇒ BC \bot (SAB)$

Trong `(SAB)` kẻ $AF \bot SB$ tại `F` 
$BC \bot (SAB) ⇒ BC \bot AF$

$⇒ AF \bot (SBC) ⇒ d(A,(SBC))=AF$

$\triangle SAB$ vuông tại `A` có `AF` là đường cao suy ra $AF=\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^{2}+AB^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}.a}{\sqrt{\left(a\sqrt{3}\right)^{2}+a^{2}}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$