Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC cân tại A. Cạnh bên SB lần lượt tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực của BC các góc bằng 30° và 45°, khoảng cách từ S đến cạnh BC bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABC

+ Gọi $\text{E}$ là trung điểm của BC.

+ Ta có: $\text{SA} \perp \text{(ABC)}$

$⇒$ $\text{A}$ là hình chiếu của $\text{S}$ lên $\text{(ABC)}$. $⇒\widehat{[\text{SB},\text{(ABC)}]}=\widehat{(\text{SB},\text{AB})}=\widehat{\text{SBA}}=30^\text{o}$

+ Lại có: 

$\text{BC} \perp \text{AE}$ ($\Delta \text{ABC}$ cân tại A)

$\text{BC} \perp \text{SA}$($\text{SA} \perp \text{(ABC)}$)

$⇒\text{BC} \perp \text{SAE}$

$⇒$ Mặt phẳng trung trực BC là $\text{(SAE)}$

+ Chứng minh tương tự, ta có: $⇒$ $\text{E}$ là hình chiếu của $\text{M}$ lên $\text{(SAE)}$.

$⇒\widehat{[\text{SB},\text{(SAE)}]}=\widehat{(\text{SB},\text{SE})}=\widehat{\text{SBE}}=45^\text{o}$

+ Dễ thấy rằng $d_{(S,BC)}=\text{SE}=a$ 

$\Rightarrow \text{SB} = \text{SC} =a \sqrt{2}$

$\Rightarrow \text{BC} = 2a$ 

+ Xét $\Delta \text{SBA}$, ta có: 

$\sin{\widehat{[\text{SB},\text{(SAE)}]}}=\frac{\text{SA}}{\text{SB}}$

$⇒\text{SA}=\frac{a \sqrt{2}}{2}$

+ Xét $\Delta \text{SAE}$, ta có: 

$\text{AE}=\sqrt{\text{SM}^2-\text{SA}^2}=\frac{a \sqrt{2}}{2}$

$⇒V_{S.ABC}=\frac{1}{3} h.S_{\text{đáy}}=\frac{1}{3}. \text{SA}. \frac{1}{2}.\text{AE}.\text{BC}= \frac{a^3}{6}$ 

(haiz, tự dưng phần render LaTeX bị lỗi nè) 

@thomasnguyen364

`{(SBnn(ABC)=B),(SA\bot(ABC)):}`

`->(BC, (ABC))=\hat{SBA}=30^o`

Gọi `M` là trung điểm `BC`

`{(BC\botAM),(BC\botSA):}->BC\bot(SAM)`

`->(SAM)` là mặt phẳng trung trực

`{(SBnn(SAM)=S),(BM\bot(SAM)):}`

`->(SB, (SAM))=\hat{BSM}=45^o`

`SM=d_((S, BC))=a`

`\triangleSBM` vuông tại `M`

`tan45^o=(BM)/(SM)->BM=a`

`->BC=2BM=2a`

`cos45^o=(SM)/(SB)->SB=a\sqrt{2}`

`\triangleSAB` vuông tại `A`

`sin30^o=(SA)/(SB)->SA=(a\sqrt{2})/2`

`\triangleSAM` vuông tại `A`

`AM=\sqrt{SM^2-SA^2}=(a\sqrt{2})/2`

`->V_(S.ABC)=1/3S_(ABC).SA=1/3 . 1/2 .(a\sqrt{2})/2 .2a.(a\sqrt{2})/2=a^3/6`