Cho chóp `S.ABCD` có `ABCD` là hình vuông - cạnh `a`, `SAB` và `SCD` cân tại `S`. Hại mặt bên `(SAB)` và `(SCD)` có tổng `S=(3a^2)/4` và vuông góc nhau. `V` khối chóp `S.ABCD`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Vẽ đường cao $SH; SK$ của $ΔSAB; SCD$

$ ⇒ HK⊥AB; CD ⇒ AB⊥(SHK) $

$ ⇒ (SAB)⊥(SHK) (1)$

Mà $ (SAB)⊥ (SCD) (2)$

$ (1) ; (2) ⇒ SK⊥ (SAB) ⇒ SK⊥ SH$

Vẽ đường cao $ SJ$ của $ΔSHK$

Đặt $ SH = x; SK = y$

$ ⇒ x² + y² = SH² + SK² = HK² = a² (1)$

Mặt khác:

$ SH.AB + SK.CD = 2(S_{SAB} + S_{SCD})$

$ ⇔ ax + ay = 2S = \dfrac{3a²}{2}$

$ ⇔ x + y = \dfrac{3a}{2}$

$ ⇔ x² + y² + 2xy = \dfrac{9a²}{4} (2)$
$ (2) - (1)$ vế - vế:

$ 2xy = \dfrac{5a²}{4} ⇔ xy = \dfrac{5a²}{8}$

Hệ thức lượng trong $ΔSHK$ đường cao$SJ$

$ \dfrac{1}{SJ²} = \dfrac{1}{SH²} + \dfrac{1}{SK²} = \dfrac{1}{x²} + \dfrac{1}{y²}$

$ ⇔ SJ = \dfrac{xy}{\sqrt{x² + y²}} = \dfrac{5a}{8}$

$ ⇒ V = \dfrac{1}{3}SJ.S_{ABCD} = \dfrac{5a³}{24}$

Xem hình