giúp mik vs ạ...................................

Vẽ hình chữ nhật $ABDC$. Gọi $E$ là hình chiếu của $A$ lên $SD$

$\begin{array}{l} \dfrac{{{d_{\left( {G,\left( {AMN} \right)} \right)}}}}{{{d_{\left( {D,\left( {AMN} \right)} \right)}}}} = \dfrac{{GA}}{{DA}} = 3\\ \dfrac{V}{{V'}} = \dfrac{{{d_{\left( {S,\left( {AMN} \right)} \right).}}{S_{AMN}}}}{{{d_{\left( {G,\left( {AMN} \right)} \right)}}.{S_{AMN}}}} = \dfrac{{{d_{\left( {S,\left( {AMN} \right)} \right)}}}}{{{d_{\left( {G,\left( {AMN} \right)} \right)}}}}\\  = \dfrac{{{d_{\left( {S,\left( {AMN} \right)} \right)}}}}{{\dfrac{1}{3}{d_{\left( {D,\left( {AMN} \right)} \right)}}}} = 3\dfrac{{{d_{\left( {S,\left( {AMN} \right)} \right)}}}}{{{d_{\left( {D,\left( {AMN} \right)} \right)}}}} \end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l} SA \bot \left( {ABC} \right) \equiv \left( {ABCD} \right)\\  \Rightarrow SA \bot DC\\ DC \bot AC \Rightarrow DC \bot \left( {SAC} \right)\\  \Rightarrow DC \bot AN,AN \bot SC\\  \Rightarrow AN \bot \left( {SDC} \right) \Rightarrow AN \bot SD\\ tt:AM \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow AM \bot SD\\  \Rightarrow SD \bot \left( {AMN} \right) \end{array}$

Vì $E$ là hình chiếu của $A$ lên $SD$ nên $A,M,N,E$ đồng phẳng và $SE=d_{(S,(AMN))}$ và $DE=d_(D,(AMN))$

$\begin{array}{l}
\dfrac{{{d_{\left( {S,\left( {AMN} \right)} \right)}}}}{{{d_{\left( {D,\left( {AMN} \right)} \right)}}}} = \dfrac{{SE}}{{DE}}\\
SE.DE = A{E^2} \Leftrightarrow SE = \dfrac{{A{E^2}}}{{DE}}\\
 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{SE}}{{DE}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{AE}}{{DE}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{SA}}{{AD}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{SA}}{{BC}}} \right)^2} = 16\\
 \Rightarrow \dfrac{V}{{V'}} = 3\dfrac{{{d_{\left( {S,\left( {AMN} \right)} \right)}}}}{{{d_{\left( {D,\left( {AMN} \right)} \right)}}}} = 3{\left( {\dfrac{{SA}}{{BC}}} \right)^2} = 3.16 = 48
\end{array}$

Đáp án:

Giải thích các bước giải: Một cách khác để Tham khảo 

Gọi $ O; I$ theo thứ tự là trung điểm của 

$ SA; BC ⇒ O; A$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp 

chóp $ S.AMN$ và khối đa diện $ABCMN$

Giao của 2 mặt cầu trên là đường tròn ngoại tiếp $ΔAMN$ có tâm $J = OI∩(AMN)$

Vì $ OI ⊥ (AMN) ⇒ OI ⊥ AJ$

Ta có $ 2OA = SA = 4BC = 8AI ⇔ OA = 4AI$ 

Trong tam giác vuông $OAI$ đường cao $AJ$ có :

$\dfrac{OJ}{IJ} = \dfrac{OA²}{OI}.\dfrac{OI}{AI²} = (\dfrac{OA}{AI})² = 16$

Vì 4 chóp $ S.AMN; O.AMN; G.AMN; I.AMN$

có chung đáy $ANM$ nên:

$ ⇒ \dfrac{V}{V'} = \dfrac{2V_{O.AMN}}{\frac{2}{3}V_{I.AMN}} = \dfrac{3OJ}{IJ} = 3.16 = 48$