Cho hs y= x^4 - (m-3)x^2 + 5m + 1 Tìm m để hs có a) 3 cực trị b) 1 cực trị c) 1 x cực tiểu = 2

Tham khảo :

`@`$y=x^4-(m-3)x^2+5m+1$$(1)$

$[a=1;b=-(m-3)]$

`->`$y'=4x^3-2(m-3)x$

`@`$y'=0$

`<=>`$2x(2x^2-m+3)=0$

`<=>`$\begin{cases} 2x=0\\2x^2-m+3=0 \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} x=0\\x= \pm \sqrt{\dfrac{m-3}{2}} \end{cases}$

$a,$ Để hàm số có $3$ cực trị thì :

(hay tìm điều kiện để $\sqrt{\dfrac{m-3}{2}}$ có nghĩa và khác với `0` )

$\begin{cases} \dfrac{m-3}{2} \geq 0 \\\left[\begin{matrix} \sqrt{\dfrac{m-3}{2}}\ne0\\ \sqrt{\dfrac{m-3}{2}} \ne0\end{matrix}\right.  \end{cases}$

`<=>`$\begin{cases} m \geq 3 \\\left[\begin{matrix} m\ne 3\\ m\ne 3\end{matrix}\right.  \end{cases}$

`<=>`$m>3$

`@`Ngoài ra có thể giải với kiểu sau:

`+` $2$ cực tiểu, $1$ cực đại khi $\begin{cases} a>0\\b<0 \end{cases}$

`+` $1$ cực tiểu, $2$ cực đại khi $\begin{cases} a<0\\b>0 \end{cases}$

$b,$ Để có $1$ cực trị:

$\begin{cases} \dfrac{m-3}{2} < 0 \\\left[\begin{matrix} \sqrt{\dfrac{m-3}{2}} = 0\\ \sqrt{\dfrac{m-3}{2}} = 0\end{matrix}\right.  \end{cases}$

$\begin{cases} m < 3 \\\left[\begin{matrix} m = 3\\  m = 3\end{matrix}\right.  \end{cases}$

`<=>`$m \leq 3$

$c,$ Chỉ có một cực tiểu nên áp dụng điều kiện của câu $a)$

`-` Với $m > 3$

`@` Khi đó $y'=0$ có ít nhất $3$ nghiệm.

`-` Vì để có cực tiểu $x=2$ mà đồ thì của hàm số đang xét rơi vào trường hợp $2$ cực tiểu và $1$ cực đại. `=>`$x=0$ là điểm cực đại.

`=>`$ \sqrt{\dfrac{m-3}{2}}=2$   (vì $-\sqrt{\dfrac{m-3}{2}}=2$ vô nghiệm)

`<=>`$m-3=4 \cdot 2$

`<=>`$m=11(thỏa)$

Đáp án + Giải thích các bước giải:

$a$. 

Để hàm số có $3$ cực trị $\Leftrightarrow$ $ab < 0$

$\Leftrightarrow$ $-m+3<0$ 

$\Leftrightarrow$ $m>3$

$b$.

Để hàm số có $1$ cực trị  $\Leftrightarrow$ $a.b \ge 0$

$\Leftrightarrow$ $-m+3 \ge 0$

$\Leftrightarrow$ $m \le 3$

$c$. 

$y'=4x^{3}-2(m-3)x$

$y''=12x-2(m-3)$

Để hàm số đạt cực tiểu tại x=2  $\Leftrightarrow$ $\left \{ {{y'(2)=0} \atop {y''(2)>0}} \right.$

$\Leftrightarrow$ $\left \{ {{32-2(m-3)2=0} \atop {24-2(m-3)>0}} \right.$ 

$\Leftrightarrow$ $\left \{ {{32-4m+12=0} \atop {24-2m+6>0}} \right.$ 

$\Leftrightarrow$ $\left \{ {{m=11} \atop {m<15}} \right.$ 

$\Rightarrow$ $m=11$

@LP