cho hình chóp s.abc có đáy abc làm tam giác vuông cân tại b. (sab) và (sac) cùng vuông góc với đáy. góc giữa (sbc) và (abc) bằng 60 độ. biết khoảng cách giữa sc và ab = 2a. gọi b',c' là hình chiếu vuông góc của a lên sb,sc. tính thể tích khối s.ab'c'

`{((SAB) bot (ABC)),((SAC) bot (ABC)):} => SA bot (ABC)`

Gọi `D` sao cho `ABCD` là hình vuông

`=> AB` // `DC => AB` // `(SDC) => d(AB,SC) = d(A,(SCD))`

Gọi `H` là hình chiếu của `A` lên `SD => AH bot SD`

`{(SA bot DC),(AD bot DC):} => DC bot (SAD) => (SDC) bot (SAD)`

Ta có: `{((SDC) bot (SAD)),((SAD) nn (SAD) = SD),(AH bot SD):} => d(A,(SDC)) = AH = 2a`

Gọi các cạnh đáy vuông `ABCD` là `x`

Ta có: `Delta SAD` vuông tại `A` có `AH` là đường cao

`1/(AH^2) = 1/(SA^2) + 1/(AD^2) = 1/(SA^2) + 1/x^2`

`=> SA = (AH.x)/(sqrt(x^2-AH^2)) = (2ax)/(sqrt(x^2-4a^2)) (1)`

Mặt khác: `{(AB bot BC),(SA bot BC):} => BC bot (SAB)`

`=> BC bot SB => (SBC),(ABC) = (SB,AB) = hat{SBA} = 60^o`

`Delta SAB` vuông tại `A` `=> SA = AB.tanSBA = x.tan60^o = xsqrt3 (2)`

`(1)(2)` `=> x= (4sqrt3a)/3` và `SA = 4a`

nên: `S_(ABC) = 1/2.AB.BC = 1/2.((4sqrt3a)/3)^2 = (8a^2)/3`

`V_(S.ABC) = 1/3.SA.S_(ABC) = 1/3. 4a.(8a^2)/3 = (32a^3)/9`

`Delta SAB` vuông tại `A` có `AB'` là đường cao:

`SB = sqrt(SA^2+AB^2) = sqrt(16a^2+(16a^2)/3) = (8sqrt3a)/3`

Áp dụng hệ thức lượng:

`SA^2 = SB'.SB => SB' = (SA^2)/(SB) = (16a^2)/((8sqrt3a)/3) = 2sqrt3a`

`Delta SAC` vuông tại `A` có `AC'` là đường cao:

`(AC = sqrt(AB^2+AC^2) = sqrt((16a^2)/3 + (16a^2)/3) = (4sqrt6a)/3)`

`SC = sqrt(SA^2+AC^2) = sqrt(16a^2+(32a^2)/3) = (4sqrt15a)/3`

Áp dụng hệ thức lượng:

`SA^2 = SC'.SC => SC' = (SA^2)/(SC) = (16a^2)/((4sqrt15a)/3) = (4sqrt15a)/5`

`(V_(S.AB'C'))/(V_(S.ABC)) = (SB')/(SB).(SC')/(SC) = (2sqrt3a)/((8sqrt3a)/(3)).((4sqrt15a)/5)/((4sqrt15a)/3) = 9/20`

`=> V_(S.AB'C') = 9/20V_(S.ABC) = 9/20.(32a^3)/9 = (8a^3)/5`