Bài 7.20 trang 39 Toán 9 tập 2 - Cùng khám phá: Tam giác ABC có \(\widehat B = {76^o}, \widehat C = {40^o}\)...

Đề bài :

Tam giác ABC có \(\widehat B = {76^o},\widehat C = {40^o}\). Đường tròn (O) nội tiếp \(\Delta \)ABC tiếp xúc với các cạnh AB, BC, AC lần lượt tại các điểm M, N, P.

a) Chứng minh AMOP, BMON và CNOP là các tứ giác nội tiếp.

b) Tính số đo cung nhỏ MN, NP và MP.

c) Tính các góc của \(\Delta \)MNP.

Hướng dẫn giải :

Đọc kĩ dữ liệu đề bài để vẽ hình.

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm của đường tròn đó.

Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó.

Góc nội tiếp bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.

Lời giải chi tiết :

a) Xét tứ giác AMOP có \(\widehat {BMO} + \widehat {BNO} = {90^o} + {90^o} = {180^o}\)(tính chất tiếp tuyến)

Suy ra tứ giác AMOP nội tiếp.

Chứng minh tương tự ta có BMON và CNOP là các tứ giác nội tiếp.

b) Ta có \(\widehat {MON} = {180^o} - \widehat {MBN} = {180^o} - {76^o} = {104^o}\) (do BMON nội tiếp)

Suy ra \(sđ\overset\frown{MN}=\widehat{MON}={{104}^{o}}\) (Tính chất góc ở tâm)

Ta có \(\widehat {NOP} = {180^o} - \widehat {PCN} = {180^o} - {40^o} = {140^o}\)(do CNOP nội tiếp)

Suy ra \(sđ\overset\frown{NP}=\widehat{NOP}={{140}^{o}}\) (Tính chất góc ở tâm)

Suy ra \(sđ\overset\frown{MP}={{360}^{o}}-sđ\overset\frown{NP}-sđ\overset\frown{MN}={{360}^{o}}-{{140}^{o}}-{{104}^{o}}={{116}^{o}}\)

c) Xét tam giác MNP:

Ta có \(\widehat {NMP} = \frac{1}{2}\widehat {NOP} = \frac{1}{2}{.140^o} = {70^o}\) (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn cung nhỏ NP)

\(\widehat {MPN} = \frac{1}{2}\widehat {MON} = \frac{1}{2}{.104^o} = {52^o}\) (góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn cung nhỏ MN)

\(\widehat {MNP} = {180^o} - \widehat {NMP} - \widehat {MPN} = {180^o} - {70^o} - {52^o} = {58^o}\)