Bài 5.5 trang 102 Toán 9 Cùng khám phá tập 1: Trong Hình 5.14, cho hai đường tròn cùng tâm O, các điểm A, B, C...

Đề bài :

Trong Hình 5.14, cho hai đường tròn cùng tâm O, các điểm A, B, C, D thẳng hàng và \(OH \bot AB\left( {H \in AB} \right)\).

a) Chứng minh rằng H là trung điểm của AB và CD.

b) Chứng minh rằng \(AC = BD\).

c) Biết bán kính đường tròn lớn là 10cm, \(CD = 16cm\) và \(AB = 8cm\). Tính bán kính đường tròn nhỏ.

Hướng dẫn giải :

a) Xét đường tròn (O, OC) có: \(OC = OD\) nên tam giác COD cân tại O. Do đó, OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Suy ra, H là trung điểm của CD.

Xét (O, OA) có: \(OA = OB\) nên tam giác OAB cân tại O. Do đó, OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Suy ra, H là trung điểm của AB.

b) Theo a ta có: \(CH = HD\), \(AH = HB\) nên \(CH - HA = HD - HB\), suy ra \(AC = BD\).

c) Tam giác HOD vuông tại H nên \(O{H^2} + H{D^2} = O{D^2}\)

Tam giác HOB vuông tại H nên \(O{B^2} = O{H^2} + H{B^2}\), từ đó tính được bán kính đường tròn nhỏ.

Lời giải chi tiết :

a) Xét đường tròn (O, OC) có: \(OC = OD\) nên tam giác COD cân tại O. Do đó, OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Suy ra, H là trung điểm của CD. Do đó, \(CH = HD\).

Xét (O, OA) có: \(OA = OB\) nên tam giác OAB cân tại O. Do đó, OH là đường cao đồng thời là đường trung tuyến. Suy ra, H là trung điểm của AB. Do đó, \(AH = HB\).

b) Theo a ta có: \(CH = HD\), \(AH = HB\) nên \(CH - HA = HD - HB\), suy ra \(AC = BD\).

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}HD = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}.16 = 8\left( {cm} \right),\\HB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}.8 = 4\left( {cm} \right)\end{array}\).

Tam giác HOD vuông tại H nên

\(O{H^2} + H{D^2} = O{D^2}\) (định lí Pythagore),

suy ra \(O{H^2}\) \( = O{D^2} - H{D^2}\) \( = {10^2} - {8^2}\) \( = 36\left( {cm} \right)\).

Tam giác HOB vuông tại H nên

\(O{B^2} = O{H^2} + H{B^2} = 36 + {4^2} = 52\) (định lí Pythagore),

suy ra \(OB = 2\sqrt {13} cm\).