Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Hỏi kF(x) có phải là nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K hay không?...

Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là hằng số thực khác không

a) Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Hỏi kF(x) có phải là nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K hay không?

b) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K. Đặt G(x) = kH(x) trên K. Hỏi H(x) có phải là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K hay không?

c) Nêu nhận xét về \(\int {kf(x)dx} \) và \(k\int {f(x)dx} \)

Hướng dẫn giải :

Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K

Lời giải chi tiết :

a) F’(x) = f(x) => kF’(x) = kf(x)

Vậy kF(x) là nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K

b) Ta có: \(G(x) = kH(x)\) => G’(x) = kH’(x)

Lại có: G’(x) = kf(x) kH’(x) = kf(x) H’(x) = f(x)

Vậy H(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K

c) \(\int {kf(x)dx} = kF(x) + a\)

\(k\int {f(x)dx} = k(F(x) + b) = kF(x) + kb\)

Vậy \(\int {kf(x)dx} \) = \(k\int {f(x)dx} \) = \(kF(x) + C\)