Cho hàm số \(y = f(x) = {x^2}\) (Hình 4). Xét hình phẳng (được tô màu) gồm tất cả điểm M(x...

Cho hàm số \(y = f(x) = {x^2}\) (Hình 4). Xét hình phẳng (được tô màu) gồm tất cả điểm M(x;y) trên mặt phẳng tọa độ sao cho \(1 \le x \le 2\) và \(0 \le y \le {x^2}\). Hình phẳng đó được gọi là hình thang cong AMNB giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(f(x) = {x^2}\), trục Ox và hai đường thẳng x = 1 và x = 2

Chia đoạn [1;2] thành n phần bằng nhau bởi các điểm chia: \({x_0} = 1,{x_1} = 1 + \frac{1}{n},{x_2} = 1 + \frac{2}{n},...,{x_{n - 1}} = 1 + \frac{{n - 1}}{n},{x_n} = 1 + \frac{n}{n} = 2\) (Hình 5)

a) Tính diện tích \({T_0}\) của hình chữ nhật dựng trên đoạn \([{x_0};{x_1}]\) với chiều cao là \(f({x_0})\)

Tính diện tích \({T_1}\) của hình chữ nhật dựng trên đoạn \([{x_1};{x_2}]\) với chiều cao là \(f({x_1})\)

Tính diện tích \({T_2}\) của hình chữ nhật dựng trên đoạn \([{x_2};{x_3}]\) với chiều cao là \(f({x_2})\)

…

Tính diện tích \({T_{n - 1}}\) của hình chữ nhật dựng trên đoạn \([{x_{n - 1}};{x_n}]\) với chiều cao là \(f({x_{n - 1}})\)

b) Đặt \({S_n} = {T_0} + {T_1} + {T_2} + ... + {T_{n - 1}}\). Chứng minh rằng: \({S_n} = \frac{1}{n}[f({x_0}) + f({x_1}) + f({x_2}) + ... + f({x_{n - 1}})]\). Tổng \({S_n}\) gọi là tổng tích phân cấp n của hàm số \(f(x) = {x^2}\) trên đoạn [1;2]

Hướng dẫn giải :

a) Áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật

b) Biến đổi biểu thức cho thích hợp

Lời giải chi tiết :

a) \({T_0} = f({x_0}).({x_1} - {x_0}) = f(1).({x_1} - 1)\)

\({T_1} = f({x_1}).({x_2} - {x_1})\)

\({T_2} = f({x_2}).({x_3} - {x_2})\)

…

\({T_{n - 1}} = f({x_{n - 1}}).({x_n} - {x_{n - 1}})\) b) \({T_0} = f({x_0}).({x_1} - {x_0}) = f({x_0}).({x_0} + \frac{1}{n} - {x_0}) = \frac{{f({x_0})}}{n}\)

\({T_1} = f({x_1}).({x_2} - {x_1}) = f({x_1}).({x_1} + \frac{1}{n} - {x_1}) = \frac{{f({x_1})}}{n}\)

\({T_2} = f({x_2}).({x_3} - {x_2}) = f({x_2}).({x_2} + \frac{1}{n} - {x_2}) = \frac{{f({x_2})}}{n}\)

…

\({T_{n - 1}} = f({x_{n - 1}}).({x_n} - {x_{n - 1}}) = f({x_{n - 1}}).({x_{n - 1}} + \frac{1}{n} - {x_{n - 1}}) = \frac{{f({x_{n - 1}})}}{n}\)

Vậy \({S_n} = {T_0} + {T_1} + {T_2} + ... + {T_{n - 1}} = \frac{1}{n}[f({x_0}) + f({x_1}) + f({x_2}) + ... + f({x_{n - 1}})]\)