Bài 3 trang 20 Toán 12 tập 1 - Cánh diều: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau...

Đề bài :

Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) \(f\left( x \right) = x + \frac{4}{x}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

b) \(f\left( x \right) = {x^3} - 12x + 1\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Hướng dẫn giải :

B1: Tìm các điểm \({x_1},{x_2},...,{x_n}\) thuộc khoảng \(\left( {a;b} \right)\) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

B2: Tính \(f\left( {{x_1}} \right),f\left( {{x_2}} \right),...,f\left( {{x_n}} \right),f\left( a \right),f\left( b \right)\)

B3: So sánh các giá trị tìm được ở bước 2 và kết luận

Lời giải chi tiết :

a) Ta có: \(f’\left( x \right) = 1 - \frac{4}{{{x^2}}}\).

Nhận xét \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\left( L \right)\end{array} \right.\)

Ta có \(f\left( 2 \right) = 4\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right) = x + \frac{4}{x}\) có giá trị nhỏ nhất bằng \(4\) khi \(x = 2\)

b) Ta có: \(f’\left( x \right) = 3{x^2} - 12\).

Nhận xét \(f’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\left( L \right)\end{array} \right.\)

Ta có \(f\left( 2 \right) = - 15\)

Vậy hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 12x + 1\) có giá trị nhỏ nhất bằng \( - 15\) khi \(x = 2\)