Bài 9 trang 66 SBT Toán 11 - Cánh diều: Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là \(s\left( t \right) = \frac{1}{2}g{t^2}\)...

Đề bài :

Một vật rơi tự do có phương trình chuyển động là \(s\left( t \right) = \frac{1}{2}g{t^2}\), trong đó \(g = 9,8m/{s^2}.\)

a) Tìm vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \(t = 3\) (s).

b) Tìm thời điểm mà vận tốc tức thời của vật tại thời điểm đó bằng \(39,2\left( {m/s} \right).\)

Hướng dẫn giải :

Vận tốc tức thời của vật \(v\left( t \right) = s’\left( t \right).\)

Lời giải chi tiết :

a) Gọi \(\Delta t\) là số gia của biến số tại thời điểm \(t.\)

\(\frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \frac{{s\left( {t + \Delta t} \right) - s\left( t \right)}}{{\Delta t}} = \frac{1}{2}g\frac{{{{\left( {t + \Delta t} \right)}^2} - {t^2}}}{{\Delta t}} = \frac{1}{2}g\frac{{2t\Delta t + {{\left( {\Delta t} \right)}^2}}}{{\Delta t}} = \frac{1}{2}g\left( {2t + \Delta t} \right).\)

Vận tốc tức thời của vật \(v\left( t \right) = s’\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} \left( {\frac{1}{2}g\left( {2t + \Delta t} \right)} \right) = gt.\)

Suy ra vận tốc tức thời của vật tại thời điểm \(t = 3\) (s):

\(v\left( 3 \right) = 9,8.3 = 29,4\left( {m/s} \right).\)

b) Vận tốc tức thời của vật bằng \(39,2\left( {m/s} \right).\)

\( \Rightarrow gt = 39,2 \Rightarrow t = \frac{{39,2}}{g} = \frac{{39,2}}{{9,8}} = 4\left( s \right).\)

Vậy vận tốc tức thời của vật bằng \(39,2\left( {m/s} \right)\) tại thời điểm \(t = 4\) (s).