Bài 17 trang 73 SBT Toán 11 - Cánh diều: Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm \({x_0} = 2\)...

Đề bài :

Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm \({x_0} = 2\):

a) \(f\left( x \right) = {e^{{x^2} + 2x}};\)

b) \(g\left( x \right) = \frac{{{3^x}}}{{{2^x}}};\)

c) \(h\left( x \right) = {2^x}{.3^{x + 2}};\)

d) \(k\left( x \right) = {\log _3}\left( {{x^2} - x} \right).\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm hợp.

Lời giải chi tiết :

a) \({f’}\left( x \right) = {\left( {{e^{{x^2} + 2x}}} \right)^\prime } = {\left( {{x^2} + 2x} \right)^\prime }.{e^{{x^2} + 2x}} = \left( {2x + 2} \right).{e^{{x^2} + 2x}}.\)

Đạo hàm của hàm số tại điểm \({x_0} = 2\): \(f’\left( 2 \right) = \left( {2.2 + 2} \right).{e^{{2^2} + 2.2}} = 6.{e^8}.\)

b) \(g’\left( x \right) = {\left( {\frac{{{3^x}}}{{{2^x}}}} \right)^\prime } = {\left( {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x}} \right)^\prime } = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^x}.\ln \frac{3}{2}.\)

Đạo hàm của hàm số tại điểm \({x_0} = 2\): \(g’\left( 2 \right) = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2}.\ln \frac{3}{2} = \frac{9}{4}.\ln \frac{3}{2}.\)

c) \(h’\left( x \right) = {\left( {{2^x}{{.3}^{x + 2}}} \right)^\prime } = {\left( {{{\left( {{2^x}} \right)}^\prime }{{.3}^{x + 2}} + {{\left( {{3^{x + 2}}} \right)}^\prime }{{.2}^x}} \right)^\prime } = {2^x}ln{2.3^{x + 2}} + {3^{x + 2}}.ln{3.2^x}\)

\( = {2^x}{.3^{x + 2}}\left( {\ln 2 + \ln 3} \right).\)

Đạo hàm của hàm số tại điểm \({x_0} = 2\):

\(h’\left( 2 \right) = {2^2}{.3^{2 + 2}}\left( {\ln 2 + \ln 3} \right) = 324.\left( {\ln 2 + \ln 3} \right).\)

d) \(k’\left( x \right) = {\left( {{{\log }_3}\left( {{x^2} - x} \right)} \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {{x^2} - x} \right)}^\prime }}}{{ln3.{{\log }_3}\left( {{x^2} - x} \right)}} = \frac{{2x - 1}}{{ln3.{{\log }_3}\left( {{x^2} - x} \right)}}.\)

Đạo hàm của hàm số tại điểm \({x_0} = 2\):

\(k’\left( 2 \right) = \frac{{2.2 - 1}}{{\ln 3.{{\log }_3}\left( {{2^2} - 2} \right)}} = \frac{3}{{\ln 3.{{\log }_3}2}} = \frac{3}{{\ln 2}}.\)