Bài 26 trang 74 SBT Toán 11 - Cánh diều: Năm 2010, dân số ở một tỉnh D là 1 038 229 người. Tính đến năm 2015...

Đề bài :

Năm 2010, dân số ở một tỉnh D là 1 038 229 người. Tính đến năm 2015, dân số của tỉnh đó là 1 153 600 người. Cho biết dân số của tỉnh D được ước tính theo công thức \(S\left( N \right){\rm{ }} = {\rm{ }}A{e^{Nr}}\) (trong đó A là dân số của năm lấy làm mốc, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm được làm tròn đến hàng phần nghìn). Tốc độ gia tăng dân số (người/năm) vào thời điểm sau 1 năm kể từ năm 2010 được xác định bởi hàm số \(S’\left( N \right).\) Tính tốc độ gia tăng dân số của tỉnh D vào năm 2023 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị người/năm), biết tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi.

Hướng dẫn giải :

Sử dụng công thức \(S\left( N \right){\rm{ }} = {\rm{ }}A{e^{Nr}}.\)

Lời giải chi tiết :

Ta có: \(S\left( N \right){\rm{ }} = {\rm{ }}A{e^{Nr}} \Rightarrow Nr = \ln \left( {\frac{{S\left( N \right)}}{A}} \right).\)

Suy ra tỉ lệ tăng dân số hàng năm:

\(r = \frac{1}{N}.\ln \left( {\frac{{S\left( N \right)}}{A}} \right) = \frac{1}{{2015 - 2010}}.\ln \left( {\frac{{1153600}}{{1038229}}} \right) \approx 0,021.\)

\( \Rightarrow S\left( N \right){\rm{ }} = {\rm{ }}A{e^{Nr}} = A{e^{0,021N}} \Rightarrow S’\left( N \right) = 0,021A{e^{0,021N}}.\)

Vào năm 2023 ta có: \(N = 2023 - 2010 = 13.\)

Tốc độ gia tăng dân số của tỉnh D vào năm 2023:

\(S’\left( {13} \right) = 0,021.1038229.{e^{0,021.13}} \approx 28647\) (người/năm).