Bài 32 trang 39 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho \(a, b, c, x, y, z\) là các số thực dương khác 1 và \({\log _x}a, {\rm{ }}{\log _y}b...

Đề bài :

Cho \(a,b,c,x,y,z\) là các số thực dương khác 1 và \({\log _x}a,{\rm{ }}{\log _y}b,{\rm{ }}{\log _z}c\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng:

\({\log _b}y = \frac{{2{{\log }_a}x.{{\log }_c}z}}{{{{\log }_a}x + {{\log }_c}z}}.\)

Hướng dẫn giải :

Sử dụng định nghĩa cấp số cộng và các tính chất của logarit để chứng minh.

Nếu \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng với công sai d thì với số tự nhiên \(n \ge 2,\)ta có: \({u_n} - {u_{n - 1}} = d.\)

Lời giải chi tiết :

Theo đề bài: \({\log _x}a,{\rm{ }}{\log _y}b,{\rm{ }}{\log _z}c\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\log _y}b - {\log _x}a = {\log _z}c - {\log _y}b \Leftrightarrow 2{\log _y}b = {\log _x}a + {\log _z}c\\ \Leftrightarrow \frac{2}{{{{\log }_b}y}} = \frac{1}{{{{\log }_a}x}} + \frac{1}{{{{\log }_c}z}} \Leftrightarrow \frac{2}{{{{\log }_b}y}} = \frac{{{{\log }_a}x + {\rm{l}}o{g_c}z}}{{{{\log }_a}x.{\rm{l}}o{g_c}z}}\\ \Leftrightarrow {\log _b}y = \frac{{2{{\log }_a}x.{{\log }_c}z}}{{{{\log }_a}x + {{\log }_c}z}}.\end{array}\)