Bài 57 trang 118 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hình chóp \(S. ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(SD\)...

Đề bài :

Cho hình chóp \(S.ABCD\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(SD\).

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

b) Xác định giao điểm của đường thẳng \(BM\) với mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

c) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {MBC} \right)\) với các mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\).

Hướng dẫn giải :

a) Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta cần xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng đó.

b) Để xác định giao điểm của \(BM\) và \(\left( {SAC} \right)\), ta cần chọn một đường thẳng nằm trong \(\left( {SAC} \right)\), và xác định giao điểm của nó với đường thẳng \(BM\).

c) Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta cần xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết :

a) Trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

Do \(AC \subset \left( {SAC} \right)\), \(BD \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(O\) là một điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\).

Mặt khác, ta có \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\). Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) là đường thẳng \(SO\).

b) Nhận xét rằng \(BM \subset \left( {SBD} \right)\). Trên \(\left( {SBD} \right)\), gọi \(E\) là giao điểm của \(BM\) và \(SO\).

Do \(SO \subset \left( {SAC} \right)\), nên \(\left\{ E \right\} = BM \cap \left( {SAC} \right)\).

Vậy \(E\) là giao điểm của \(BM\) và \(\left( {SAC} \right)\).

c) Nhận xét rằng \(CE \subset \left( {SAC} \right)\). Trên \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(F\) là giao điểm của \(CE\) và \(SA\).

Do \(E \in BM\), mà \(BM \subset \left( {MBC} \right)\) nên \(E \in \left( {MBC} \right)\). Suy ra \(CE \subset \left( {MBC} \right)\).

Xét hai mặt phẳng \(\left( {MBC} \right)\) và \(\left( {SAB} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}F \in CE \subset \left( {MBC} \right)\\F \in SA \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAB} \right)\).

Mặt khác, vì \(B \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAB} \right)\), nên giao tuyến của \(\left( {MBC} \right)\) và \(\left( {SAB} \right)\) là đường thẳng \(BF\).

Xét hai mặt phẳng \(\left( {MBC} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}F \in CE \subset \left( {MBC} \right)\\F \in SA \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\).

Mặt khác, ta lại có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in \left( {MBC} \right)\\M \in SD \subset \left( {SAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {MBC} \right) \cap \left( {SAD} \right)\).

Như vậy, giao tuyến của \(\left( {MBC} \right)\) và \(\left( {SAD} \right)\) là đường thẳng \(MF\).