Bài 56 trang 57 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = 1\), \({u_2} = 2\)...

Đề bài :

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_1} = 1\), \({u_2} = 2\), \({u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 2\) với \(n \ge 2\).

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng.

c) Tìm công thức của \({v_n}\), \({u_n}\) tính theo \(n\).

Hướng dẫn giải :

a) Thay \(n = 2\), \(n = 3\), \(n = 4\) vào biểu thức \({u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 2\)để tính \({u_3},{u_4},{u_5}\).

b) Do \({u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 2 \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} + 2 \Rightarrow {v_n} = {v_{n - 1}} + 2\). Suy ra \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng.

c) Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng nên \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d\).

Ta có \({v_1} = {u_2} - {u_1}\), \({v_2} = {u_3} - {u_2}\), \({v_3} = {u_4} - {u_3}\),…, \({v_{n - 1}} = {u_n} - {u_{n - 1}}\)

Do đó \({v_1} + {v_2} + {v_3} + .... + {v_{n - 1}} = - {u_1} + {u_n}\)

Từ đó ta tính được công thức số hạng tổng quát của \(\left( {{u_n}} \right)\)

Lời giải chi tiết :

a) Ta có

\({u_3} = 2{u_2} - {u_1} + 2 = 2.2 - 1 + 2 = 5\)

\({u_4} = 2{u_3} - {u_2} + 2 = 2.5 - 2 + 2 = 10\)

\({u_5} = 2{u_4} - {u_3} + 2 = 2.10 - 5 + 2 = 17\)

Vậy năm số hạng đầu của dãy số là 1, 2, 5, 10, 17.

b) Do \({u_{n + 1}} = 2{u_n} - {u_{n - 1}} + 2 \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = {u_n} - {u_{n - 1}} + 2\)

Mà \({v_n} = {u_n} - {u_{n - 1}}\), ta suy ra \({v_n} = {v_{n - 1}} + 2 \Rightarrow {v_n} - {v_{n - 1}} = 2\)

Dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) có \({v_n} - {v_{n - 1}} = 2\) là một hằng số, nên \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng có số hạng đầu \({v_1} = {u_2} - {u_1} = 2 - 1 = 1\), công sai \(d = 2\).

c) Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng, nên \({v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = 1 + 2\left( {n - 1} \right) = 2n - 1\)

Ta có \({v_1} = {u_2} - {u_1}\), \({v_2} = {u_3} - {u_2}\), \({v_3} = {u_4} - {u_3}\),…, \({v_{n - 1}} = {u_n} - {u_{n - 1}}\)

Do đó \({v_1} + {v_2} + {v_3} + .... + {v_{n - 1}} = - {u_1} + {u_n}\)

Suy ra \({u_n} = \frac{{\left( {2v{\rm{\_1 + }}\left( {n - 2} \right)d} \right)\left( {n - 1} \right)}}{2} + 1 = {\left( {n - 1} \right)^2} + 1\).