Bài 4 trang 94 Toán 11 tập 2 - Cánh diều: Trong Hình 42, máy tính xách tay đang mở gợi nên hình ảnh của một góc nhị diện...

Đề bài :

Trong Hình 42, máy tính xách tay đang mở gợi nên hình ảnh của một góc nhị diện. Ta gọi số đo góc nhị diện đó là độ mở của màn hình máy tính. Tính độ mở của màn hình máy tính theo đơn vị độ, biết tam giác \(ABC\) có độ dài các cạnh là \(AB = AC = 30{\rm{ }}cm\) và \(BC = 30\sqrt 3 {\rm{ }}cm\).

Hướng dẫn giải :

‒ Cách xác định góc nhị diện \(\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right]\)

Bước 1: Xác định \(c = \left( {{P_1}} \right) \cap \left( {{Q_1}} \right)\).

Bước 2: Tìm mặt phẳng \(\left( R \right) \supset c\).

Bước 3: Tìm \(p = \left( R \right) \cap \left( {{P_1}} \right),q = \left( R \right) \cap \left( {{Q_1}} \right),O = p \cap q,M \in p,N \in q\).

Khi đó \(\left[ {{P_1},d,{Q_1}} \right] = \widehat {MON}\).

Lời giải chi tiết :

Gọi \(d\) là đường thẳng chứa bản lề của máy tính.

\(d \bot AB,d \bot AC\)

Vậy \(\widehat {BA{\rm{C}}}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện cần tính.

Xét \(\Delta ABC\) có:

\(\cos \widehat {BAC} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2{\rm{A}}B.AC}} = \frac{{{{30}^2} + {{30}^2} - {{\left( {30\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{2.30.30}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {BAC} = {120^ \circ }\)

Vậy độ mở của màn hình máy tính bằng \({120^ \circ }\).