Giải mục 3 trang 97, 98, 99 Toán 11 tập 2 - Cánh Diều: Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {AOS} \right)\) và \(\left( {AOB} \right)\) là đường thẳng nào?...

Câu hỏi:

Cho hình chóp \(S.OAB\) thoả mãn \(\left( {AOS} \right) \bot \left( {AOB} \right)\), \(\widehat {AOS} = \widehat {AOB} = {90^ \circ }\) (Hình 51).

a) Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {AOS} \right)\) và \(\left( {AOB} \right)\) là đường thẳng nào?

b) \(SO\) có vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {AOS} \right)\) và \(\left( {AOB} \right)\) hay không?

c) \(SO\) có vuông góc với mặt phẳng \(\left( {AOB} \right)\) hay không?

Hướng dẫn giải :

‒ Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta có 2 cách:

+ Cách 1: Tìm 2 điểm chung phân biệt. Giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung.

+ Cách 2: Tìm 1 điểm chung và 2 đường thẳng song song nằm trên mỗi mặt phẳng. Giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung và song song với hai đường thẳng đó.

‒ Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}A \in \left( {AOS} \right) \cap \left( {AOB} \right)\\O \in \left( {AOS} \right) \cap \left( {AOB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AO = \left( {AOS} \right) \cap \left( {AOB} \right)\)

b) \(\widehat {AOS} = {90^ \circ } \Rightarrow SO \bot AO\)

Vậy \(SO\) có vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {AOS} \right)\) và \(\left( {AOB} \right)\).

c) \(\widehat {AOS} = {90^ \circ } \Rightarrow SO \bot AO\)

\(\widehat {AOB} = {90^ \circ } \Rightarrow AO \bot BO\)

Vậy \(\widehat {SOB}\) là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện \(\left[ {S,AO,B} \right]\)

Vì \(\left( {AOS} \right) \bot \left( {AOB} \right)\) nên \(\widehat {SOB} = {90^ \circ }\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow SO \bot OB\\SO \bot OA\end{array} \right\} \Rightarrow SO \bot \left( {AOB} \right)\)

Câu hỏi:

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(\left( {ABD} \right) \bot \left( {BCD} \right)\) và \(CD \bot BD\). Chứng minh rằng tam giác \(ACD\) vuông.

Hướng dẫn giải :

Sử dụng định lí 2: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

Lời giải chi tiết :

Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}\left( {ABD} \right) \bot \left( {BCD} \right)\\\left( {ABD} \right) \cap \left( {BCD} \right) = BD\\C{\rm{D}} \subset \left( {BCD} \right)\\C{\rm{D}} \bot B{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow C{\rm{D}} \bot \left( {ABD} \right) \Rightarrow C{\rm{D}} \bot A{\rm{D}}\)

Vậy tam giác \(ACD\) vuông tại \(D\).

Câu hỏi:

Trong Hình 54, hai bìa của cuốn sách gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng vuông góc với mặt bàn. Hãy dự đoán xem gáy sách có vuông góc với mặt bàn hay không.

Hướng dẫn giải :

Quan sát hình ảnh và trả lời câu hỏi.

Lời giải chi tiết :

Gáy sách vuông góc với mặt bàn.

Câu hỏi:

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA \bot SB,SB \bot SC,SC \bot SA\). Chứng minh rằng:

a) \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\);

b) \(\left( {SBC} \right) \bot \left( {SCA} \right)\);

c) \(\left( {SCA} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).

Hướng dẫn giải :

Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

Lời giải chi tiết :

a) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SA \bot SB\\SA \bot SC\end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot \left( {SBC} \right)\\SA \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\)

b) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SA \bot SB\\SA \bot SC\end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot \left( {SBC} \right)\\SA \subset \left( {SCA} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SCA} \right) \bot \left( {SBC} \right)\)

c) Ta có:

\(\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}SA \bot SB\\SB \bot SC\end{array} \right\} \Rightarrow SB \bot \left( {SCA} \right)\\SB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SCA} \right)\)